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\chapter{二流近似法を用いた放射伝達方程式}
\markright{第\arabic{chapter}章 二流近似法を用いた放射伝達方程式} %  節の題名を書き込むこと
% ここから本文を書く

本章では二流近似法を用いて放射伝達方程式を近似し, 放射フラックスの計算式を導出する.
一連の式変形については主に Meador and Weaver (1980) を参考にしている.
また, 後の節で紹介する $\delta$-Eddington 近似は Joseph and Wiscombe (1976) に基づいている.

\section{散乱を考慮した放射伝達方程式}
本研究では太陽放射の放射伝達過程を考えるため, 大気からの射出を無視し, 代わりに散乱過程を考慮する.
均質大気は平行平面大気の特別な場合（光学的特性が鉛直方向にも一様な場合）であることから, (\ref{eq:2.15}) を元に放射伝達方程式を考える.
均質大気において光学的深さ $\tau$ での ($\mu$, $\phi$) 方向の放射輝度の変化を考えると, 放射伝達方程式は
\begin{equation}
	\begin{split}
		\mu\pdv{I(\tau,\mu,\phi)}{\tau} = &I(\tau,\mu,\phi)
		\\&- \frac{\varpi}{4\pi} \int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} p(\mu,\phi;\mu',\phi') I(\tau,\mu',\phi') \dd{\phi'} \dd{\mu'}
		\\&- \frac{\varpi}{4}  p(\mu,\phi;-\mu_0,\phi_0) F_{s} \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
	\label{eq:3.1}
	\end{split}
\end{equation}
と表される.
ここで, $F_s$ は太陽放射フラックスであり, 各物理量の添字 $\nu$ を省略している.
(\ref{eq:3.1}) の右辺第一項は消散による放射輝度の減少, 第二項と第三項は散乱による放射輝度の増加を示す.
このうち第二項は大気による光の多重散乱を表し,  ($\mu'$, $\phi'$) 方向から入射し ($\mu$, $\phi$) 方向へ散乱する放射を$\mu'$, $\phi'$ について積分することで得られる.
第三項は ($-\mu_0$, $\phi_0$) 方向からの太陽光の直達成分の一次散乱を表す.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{figs/fig3_1.png}
    \caption{
      均質大気における放射伝達. (\ref{eq:3.1}) の右辺第一項, 第二項, 第三項がそれぞれ実線 (橙), 破線(青), 一点鎖線 (緑) の矢印に対応する.
    }
    \label{fig:3.1}
  \end{center}
\end{figure}

\section{二流近似法}
二流近似法 (two-stream approximation method) とは, 放射輝度を上向き放射フラックス
\begin{equation}
	F^{+}(\tau) = \int_0^1 \int_0^{2\pi} \mu I(\tau,\mu,\phi) \dd{\phi} \dd{\mu}
	\label{eq:3.2}
\end{equation}
と, 下向き放射フラックス
\begin{equation}
	\begin{split}
	F^{-}(\tau) &= \int_{-1}^0 \int_0^{2\pi} \mu I(\tau,\mu,\phi) \dd{\phi} \dd{\mu}\\
	&= \int_0^1 \int_0^{2\pi} \mu I(\tau,-\mu,\phi) \dd{\phi} \dd{\mu} 
	\end{split}
	\label{eq:3.3}
\end{equation}
の二つにまとめることで, 放射伝達方程式を二つの微分方程式
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.4\alph{equation}}
	\begin{align}
		\pdv{F^+}{\tau} &= \gamma_1 F^+ - \gamma_2 F^- - S^+
		\label{eq:3.4a}
		\\
		\pdv{F^-}{\tau} &= \gamma_2 F^+ - \gamma_1 F^- + S^-
		\label{eq:3.4b}
	\end{align}
\end{subequations}
に近似する手法であり, (\ref{eq:3.4a}), (\ref{eq:3.4b}) は二流方程式と呼ばれる.
二流方程式により放射フラックスの計算を上向きと下向きの二方向に限定できるため, この近似法は放射伝達計算においてしばしば用いられる.
二流近似法には様々な近似手法があり, 選んだ手法によって $\gamma_1$, $\gamma_2$ が決定される.
それらの手法のうち, 今回は Eddington 近似と $\delta$-Eddington 近似を紹介する.

\subsection{基本理論}
$I(\tau,\mu,\phi)$ の $\phi$ 積分を
\begin{equation}
	I(\tau,\mu) \equiv \int_0^{2\pi} I(\tau,\mu,\phi) \dd{\phi}
	\label{eq:3.5}
\end{equation}
と定義する.
このとき (\ref{eq:3.2}), (\ref{eq:3.3}) より, $F^+$ と $F^-$ は $I(\tau,\mu)$ を用いて
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.6\alph{equation}}
	\begin{align}
		F^+(\tau) &= \int_0^1 \mu I(\tau,\mu) \dd{\mu}
		\label{eq:3.6a}
		\\
		F^-(\tau) &= \int_0^1 \mu I(\tau,-\mu) \dd{\mu}
		\label{eq:3.6b}
	\end{align}
\end{subequations}
と表される.
また, $p(\mu,\phi; \mu',\phi')$ が 方位角に依存しないと仮定し, 
\begin{equation}
	 p(\mu, \mu') \equiv p(\mu,\phi; \mu',\phi')
	\label{eq:3.7}
\end{equation}
と表す.
(\ref{eq:3.1}) を $\phi$ について 0 から $2\pi$ まで積分し, (\ref{eq:3.5})と (\ref{eq:3.7}) を代入すると,
\begin{equation}
	\mu\pdv{I(\tau,\mu)}{\tau} = I(\tau,\mu) - \frac{\varpi}{2} \int_{-1}^1 p(\mu,\mu') I(\tau,\mu') \dd{\mu'} - \frac{\pi}{2} p(\mu,-\mu_0) F_{s} \varpi \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
	\label{eq:3.8}
\end{equation}
となる.
(\ref{eq:3.8}) を $\mu$ について 0 から 1 まで積分すると, (\ref{eq:3.6a}) より
\begin{equation}
	\dv{F^+(\tau)}{\tau} = \int_0^1 I(\tau,\mu) \dd{\mu} - \frac{\varpi}{2} \int_0^1 \int_{-1}^1 p(\mu,\mu') I(\tau,\mu') \dd{\mu'} \dd{\mu} - \pi  F_{s} \varpi \beta_0 \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
	\label{eq:3.9}
\end{equation}
となり, ここで $\beta_0$ は
\begin{equation}
	\begin{split}
		\beta _0
		&\equiv \frac{1}{2} \int_0^1 p(\mu, -\mu_0) \dd{\mu}\\
	 	&=  1- \frac{1}{2} \int_0^1 p(-\mu, -\mu_0) \dd{\mu}
	\end{split}
	\label{eq:3.10}
\end{equation}
と定義される.
また(\ref{eq:3.8}) の中の $\mu$ を  $-\mu$ に置き換え, 同様に $\mu$ について 0 から 1 まで積分すると, (\ref{eq:3.6b}) より
\begin{equation}
	\dv{F^-(\tau)}{\tau} = - \int_0^1 I(\tau,-\mu) \dd{\mu} + \frac{\varpi}{2} \int_0^1 \int_{-1}^1 p(-\mu,\mu') I(\tau,\mu') \dd{\mu'} \dd{\mu} + \pi  F_{s} \varpi (1-\beta_0) \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
	\label{eq:3.11}
\end{equation}
となる.

\subsection{Eddington 近似}
Eddington 近似は $I(\tau, \mu)$ および $p(\mu, \mu')$ を Legendre 多項式\footnote{Legandre 多項式については付録 A を参照せよ.}を用いて 
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.12\alph{equation}}
	\begin{align}
		I(\tau, \mu) &= \sum_l I_l(\tau) P_l(\mu)
		\label{eq:3.12a}
		\\
		p(\mu, \mu') &= \sum_l (2l+1) g_l P_l(\cos{\Theta})
		\label{eq:3.12b}
	\end{align}
\end{subequations}
と展開することから始まる.
ここで $P_l$ は $l$ 次の Legendre 多項式, $I_l(\tau)$ および $g_l$ は展開係数, $\Theta$ は入射方向 ($\mu'$,$\phi'$) と散乱方向 ($\mu'$,$\phi'$) が成す角である.
また, 球面調和関数の加法定理より, 
\begin{equation}
	P_l(\cos{\Theta}) = P_l(\mu) P_l (\mu') + 2 \sum_{m=1}^l \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(\mu) P_l^m(\mu') \cos{m(\phi-\phi')}
	\label{eq:3.13}
\end{equation}
が成り立つ\footnote{(\ref{eq:3.13}) の導出については付録 B を参照せよ.}.
ここで $P_l^m(\mu)$ は Legendre 陪多項式である.
$p(\mu, \mu')$ は方位角に依存しないので, (\ref{eq:3.13}) の右辺第二項を無視すると, (\ref{eq:3.12b}) は
\begin{equation}
	p(\mu,\mu') = \sum_l (2l+1) g_l P_l(\mu) P_l (\mu')
	\label{eq:3.14}
\end{equation}
となる. 
ここで, Legendre 多項式の直交性を用いると $g_l$ は
\begin{equation}
	g_l = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 P_l(\mu) p(\mu, 1) \dd{\mu}
	\label{eq:3.15}
\end{equation}
と表される.
$l=0$ のとき, 規格化条件 (\ref{eq:2.2}) および $P_0(\mu)=1$ であることから $g_0=1$ となる.
また, $l=1$ の展開係数 $g_1$ を非対称因子 $g$ と呼ぶことにする.
ここで (\ref{eq:3.12a}) と (\ref{eq:3.14}) を $l=1$ までで打ち切り, 
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.16\alph{equation}}
	\begin{align}
		I(\tau, \mu) &\approx I_0(\tau) + \mu I_1(\tau)
		\label{eq:3.16a}
		\\
		p(\mu, \mu') &\approx g_0 + 3 g_1 \mu\mu' = 1 + 3g\mu\mu'
		\label{eq:3.16b}
	\end{align}
\end{subequations}
と近似する.
ここで $P_0(\mu)=1$, $P_1(\mu)=\mu$ であることを用いた.
(\ref{eq:3.2}) および(\ref{eq:3.3}) に(\ref{eq:3.16a}) を代入すると
\begin{equation}
	F^{\pm}(\tau) = \frac{1}{2} I_0(\tau) \pm \frac{1}{3} I_1(\tau) 
	\label{eq:3.17}
\end{equation}
が得られる.
これを再び (\ref{eq:3.16a}) に用いると
\begin{equation}
	I(\tau,\pm\mu) = \frac{1}{2} [(2\pm3\mu)F^+(\tau)+(2\mp3\mu)F^-(\tau)],\qquad\mu\geq0
	\label{eq:3.18}
\end{equation}
となる.
(\ref{eq:3.16b}), (\ref{eq:3.18}) より, 
\begin{equation}
	\int_0^1  I(\tau,\pm\mu) \dd{\mu} = \frac{1}{4} [(4\pm3)F^+(\tau)+(4\mp3)F^-(\tau)]
	\label{eq:3.19}
\end{equation}
\begin{equation}
	\frac{\varpi}{2} \int_0^1 \int_{-1}^1 p(\pm\mu,\mu') I(\tau,\mu') \dd{\mu'} \dd{\mu} = \frac{1}{4} [(4\pm3g)F^+(\tau)+(4\mp3g)F^-(\tau)]
	\label{eq:3.20}
\end{equation}
となる.
この二式を (\ref{eq:3.9}), (\ref{eq:3.11}) の右辺第一項, 第二項に代入すると, 二流方程式
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.21\alph{equation}}
	\begin{align}
		\pdv{F^+}{\tau} &= \gamma_1 F^+ - \gamma_2 F^- - \pi F_s \varpi \gamma_3 \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
		\label{eq:3.21a}
		\\
		\pdv{F^-}{\tau} &= \gamma_2 F^+ - \gamma_1 F^- + \pi F_s \varpi \gamma_4 \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
		\label{eq:3.21b}
	\end{align}
\end{subequations}
が得られ, ここで
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.22\alph{equation}}
	\begin{align}
		\gamma_1 &= \frac{1}{4} [7-\varpi(4+3g)]
		\label{eq:3.22a}
		\\
		\gamma_2 &= -\frac{1}{4} [1-\varpi(4-3g)]
		\label{eq:3.22b}
		\\
		\gamma_3 &= \beta_0 = \frac{1}{4} (2-3g\mu_0)
		\label{eq:3.22c}
		\\
		\gamma_4 &= 1 - \beta_0 = 1 - \gamma_3
		\label{eq:3.22d}
	\end{align}
\end{subequations}
である.

\subsection{$\delta$-Eddington 近似}
3.2.2 節で紹介した Eddington 近似は非対称性の高い散乱, 特に前方散乱が非常に強い場合に良い結果をもたらさない.
従って, 本研究では Eddington 近似を改良した $\delta$-Eddington 近似を用いることにする.

$I(\tau, \mu)$ については Eddington 近似と同じく
\begin{equation}
	I(\tau, \mu) = \sum_l I_l(\tau) P_l(\mu)
	\label{eq:3.23}
\end{equation}
と近似する.
また, $p(\mu, \mu')$ については
\begin{equation}
	p(\mu, \mu') \approx 2f \delta(\mu-\mu') + (1-f) (1+3g^*\mu\mu')
	\label{eq:3.24}
\end{equation}
と近似する.
ここで $\delta(\mu-\mu')$ は Dirac のデルタ関数であり, (\ref{eq:3.24}) の右辺第一項は $\mu=\mu'$ のとき, つまり前方散乱のときにピークを持つことを表している.
右辺第二項は Eddington 近似と同じ形である.
各項の係数は任意の定数 $f$ を用いて表わされ, 散乱位相関数が規格化条件 (\ref{eq:2.2}) を満たすようにしている.
(\ref{eq:3.23}) より, Eddington 近似と同様にして
\begin{equation}
	F^{\pm}(\tau) = \frac{1}{2} I_0(\tau) \pm \frac{1}{3} I_1(\tau) 
	\label{eq:3.25}
\end{equation}
\begin{equation}
	I(\tau,\pm\mu) = \frac{1}{2} [(2\pm3\mu)F^+(\tau)+(2\mp3\mu)F^-(\tau)],\qquad\mu\geq0
	\label{eq:3.26}
\end{equation}
となる.
従って, 
\begin{equation}
	\int_0^1  I(\tau,\pm\mu) \dd{\mu} = \frac{1}{4} [(4\pm3)F^+(\tau)+(4\mp3)F^-(\tau)]
	\label{eq:3.27}
\end{equation}
\begin{equation}
	\frac{\varpi}{2} \int_0^1 \int_{-1}^1 p(\pm\mu,\mu') I(\tau,\mu') \dd{\mu'} \dd{\mu} = \frac{1}{4} [(4\pm3g)F^+(\tau^*)+(4\mp3g^*)F^-(\tau^*)]
	\label{eq:3.28}
\end{equation}
が成り立つ.
この二式は Eddington 近似の (\ref{eq:3.19}), (\ref{eq:3.20}) にそれぞれ対応する.
また (\ref{eq:3.28}) について, 
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.29\alph{equation}}
	\begin{align}
		g^* &= \frac{g-f}{1-f}
		\label{eq:3.29a}
		\\
		\tau^* &= (1-\varpi f)\tau
		\label{eq:3.29b}
		\\
		\varpi^* &= \frac{1-f}{1-\varpi f}\varpi
		\label{eq:3.29c}
	\end{align}
\end{subequations}
と置いた.
この二式を (\ref{eq:3.9}), (\ref{eq:3.11}) の右辺第一項, 第二項に代入すると, 二流近似方程式
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.30\alph{equation}}
	\begin{align}
		\pdv{F^+}{\tau^*} &= \gamma_1 F^+ - \gamma_2 F^- - \pi F_s \varpi^* \gamma_3 \mathrm{e}^{-\tau^*/\mu_0}
		\label{eq:3.30a}
		\\
		\pdv{F^-}{\tau^*} &= \gamma_2 F^+ - \gamma_1 F^- + \pi F_s \varpi^* \gamma_4 \mathrm{e}^{-\tau^*/\mu_0}
		\label{eq:3.30b}
	\end{align}
\end{subequations}
が得られ, ここで
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.31\alph{equation}}
	\begin{align}
		\gamma_1 &= \frac{1}{4} [7-\varpi^*(4+3g^*)]
		\label{eq:3.31a}
		\\
		\gamma_2 &= -\frac{1}{4} [1-\varpi^*(4-3g^*)]
		\label{eq:3.31b}
		\\
		\gamma_3 &= \frac{1}{4} (2-3g^*\mu_0)
		\label{eq:3.31c}
		\\
		\gamma_4 &= 1 - \gamma_3
		\label{eq:3.31d}
	\end{align}
\end{subequations}
である.
(3.30) と (3.31) は(3.21) と (3.22) の $g$, $\tau$, $\varpi$ を $g^*$, $\tau^*$, $\varpi^*$ に置き換えたものに等しい.

最後に任意定数 $f$ を決定する.
まず, 散乱位相関数に二次の Legendre 多項式を掛けて積分したものを計算すると, 
\begin{equation}
	\begin{split}
		\int_{-1}^1 P_2(\mu) p(\mu, 1) \dd{\mu}
		&=\int_{-1}^1 \frac{1}{2} (3\mu^2-1) \qty[2f \delta(\mu-1) + (1-f) (1+3g^*\mu)] \dd{\mu}
		\\
		&=2f
	\end{split}
	\label{eq:3.32}
\end{equation}
となる.
ここで
\begin{equation}
	\int f(x)\delta(x-x_0) \dd{x} = f(x_0)
	\label{eq:3.33}
\end{equation}
であることを用いた.
次に, Henyey-Greenstein 位相関数
\begin{equation}
	p_{\mathrm{H-G}}(\mu,\mu') = \sum_l (2l+1) g^l P_l(\cos{\Theta})
	\label{eq:3.34}
\end{equation}
を導入する.
これは, 散乱位相関数の Legendre 多項式展開の展開係数 $g_l$ を非対称因子 $g$ の $l$ 乗に近似したものである. 
(\ref{eq:3.32}) と同様に,  Henyey-Greenstein 位相関数に二次の Legendre 多項式を掛けて積分すると, Legendre 多項式の直交性より Henyey-Greenstein 位相関数の二次の項のみが残り, 
\begin{equation}
	\int_{-1}^1 P_2(\mu) p_{\mathrm{H-G}}(\mu, 1) \dd{\mu} = 2g^2
	\label{eq:3.35}
\end{equation}
となる.
散乱位相関数が Henyey-Greenstein 位相関数に近似できるとするならば, (\ref{eq:3.32}) および (\ref{eq:3.35}) より
\begin{equation}
	f = g^2
	\label{eq:3.36}
\end{equation}
となる.

\section{放射フラックスの計算式}
大気上端の光学的深さを $\tau=0$ , 下端を $\tau=\tau_s$ とする.
均質大気の中では光学的特性が変化しないので, (\ref{eq:3.30a}) と (\ref{eq:3.30b}) を連立させて解くと放射フラックスの計算式
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.37\alph{equation}}
	\begin{align}
		F^+(\tau) = k_1 \mathrm{e}^{\lambda\tau^*} + \Gamma k_2 \mathrm{e}^{-\lambda\tau^*} +C^+(\tau^*)
		\label{eq:3.37a}
		\\
		F^-(\tau) = \Gamma k_1 \mathrm{e}^{\lambda\tau^*} + k_2 \mathrm{e}^{-\lambda\tau^*} +C^-(\tau^*)
		\label{eq:3.37b}
	\end{align}
\end{subequations}
が得られる\footnote{(\ref{eq:3.37a}), (\ref{eq:3.37b}) の導出については付録Cを参照せよ.}.
ここで
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.38\alph{equation}}
	\begin{align}
		\lambda &\equiv (\gamma_1^2 - \gamma_2^2)^{1/2}
		\label{eq:3.38a}
		\\
		\Gamma &\equiv \frac{\gamma_2}{\gamma_1+\lambda} = \frac{\gamma_1-\lambda}{\gamma_2}
		\label{eq:3.38b}
		\\
		C^+(\tau^*) &\equiv \frac{\pi F_s \varpi^* \mathrm{e}^{-\tau^*/\mu_0}[(\gamma_1-1/\mu_0)\gamma_3+\gamma_2\gamma_4]}{\lambda^2-1/\mu_0^2}
		\label{eq:3.38c}
		\\
		C^-(\tau^*) &\equiv \frac{\pi F_s \varpi^* \mathrm{e}^{-\tau^*/\mu_0}[(\gamma_1+1/\mu_0)\gamma_4+\gamma_2\gamma_3]}{\lambda^2-1/\mu_0^2}
		\label{eq:3.38d}
	\end{align}
\end{subequations}
である.
さらに下向き放射フラックス (\ref{eq:3.37b}) には太陽からの直達光
\begin{equation}
	F_{dir}^-(\tau) = \mu_0 \pi \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
	\label{eq:3.39}
\end{equation}
を加えることで, 最終的な放射フラックスの計算式
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.40\alph{equation}}
	\begin{align}
		F^+(\tau) &= k_1 \mathrm{e}^{\lambda\tau^*} + \Gamma k_2 \mathrm{e}^{-\lambda\tau^*} +C^+(\tau^*)
		\label{eq:3.40a}
		\\
		F^-(\tau) &= \Gamma k_1 \mathrm{e}^{\lambda\tau^*} + k_2 \mathrm{e}^{-\lambda\tau^*} +C^-(\tau^*) + F_{dir}^-(\tau)
		\label{eq:3.40b}
	\end{align}
\end{subequations}
が得られる.
また境界条件を
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.41\alph{equation}}
	\begin{align}
		F^+(\tau_s) &= R_{sfc} F^-(\tau_s) = R_{sfc} (\Gamma k_1 \mathrm{e}^{\lambda\tau_s^*} + k_2 \mathrm{e}^{−\lambda\tau_s^*} + C^-(\tau_s^*) + \mu_0 \pi F_s \mathrm{e}^{−\tau_s/\mu_0})
		\label{eq:3.41a}
		\\
		F^-(0) &= 0
		\label{eq:3.41b}
	\end{align}
\end{subequations}
とすると, $k_1$, $k_2$ は
\begin{subequations}
	\def\theequation{3.42\alph{equation}}
	\begin{align}
		k_1 &= -\frac{k_2+C^-(0)}{\Gamma}
		\label{eq:3.42a}
		\\
		k_2 &= \frac{(1-R_{sfc}\Gamma)C^-(0)\mathrm{e}^{\lambda\tau_s^*} - \Gamma\{C^+(\tau_s^*)+R_{sfc}[C^-(\tau_s^*)+\mu_0 \pi F_s \mathrm{e}^{−\tau_s/\mu_0}]\}}{(R_{sfc}\Gamma-1) \mathrm{e}^{\lambda\tau_s^*} - (R_{sfc}-\Gamma)\Gamma \mathrm{e}^{\lambda\tau_s^*}}
		\label{eq:3.42b}
	\end{align}
\end{subequations}
となる.
ここで $R_{sfc}$ は地表の反射率である.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{figs/fig3_2.png}
    \caption{
      均質大気における放射伝達. 大気上端($\tau=0$) と大気下端($\tau=\tau_s$) の間の任意の $\tau$ について, 二流方程式から得られる上向き放射フラックス $F^+(\tau)$ と下向き放射フラックス $F^-(\tau)$, および太陽直達フラックス $F_{dir}^-(\tau)$を考える.
    }
    \label{fig:3.2}
  \end{center}
\end{figure}


% ここで本文おしまい
%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
