
%% % 卒業論文 
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%% \begin{document}
\chapter{議論}    % 章の始めからの場合はこのコマンドを使用する
3 章において, 太平洋・北米パターンの 500 hPa ジオポテンシャル高度や 1000 - 500 hPa 層厚などの特徴を説明した. 
1000 - 500 hPa 層厚や地表面温度において, 東西方向に $3$ つの逆符号の隣り合う異常が並んでいることが確認できる. 
これがポテンシャル渦度を保存するようにして起こるロスビー波の現れであることをこの章にて説明する. 
具体的には, 順圧な構造をもち, 水平スケールが変形半径と同程度である太平洋・北米パターンと類似した状況下である単層の準地衡流浅水方程式を用いて, ロスビー波の波数を推定し, 実際の太平洋・北米パターンと比較する. 
%\section{エクマン層}      % 節の始めからの場合はこのコマンドを使用する

\markright{第\arabic{chapter}章 議論} 

% ここから本文を書く

\section{単層の浅水系の運動量方程式}
浅水方程式とは, 流れの水平スケールが層の深さよりもずっと大きい密度一定の流体層に適用できる方程式である. 
図 $4.1$ のような状態を考える. 
$h (x, y)$ は流体柱の厚さ, $H$ はその平均の厚さ, $\eta$ は自由表面の厚さである. \\
　鉛直方向の運動量方程式は静水圧平衡の式
\begin{align} % (4.1)
    \frac{\partial p}{\partial z} = - \rho_0 g 
\end{align}
である. 
ここで $p$ は圧力, $\rho_0$ は密度 (定数), $g$ は重力加速度である. 
上式を $z$ で積分すると
\begin{align} % (4.2)
    p (x, y, z, t) = - \rho_0 g z + p_0
\end{align}
となる. 
流体の上端 $z = \eta$ で $p = 0$ とすると, $p_0 = \rho_0 g \eta$ であり, 
\begin{align} % (4.3)
    p (x, y, z, t) = \rho_0 g (\eta (x, y, t) - z) 
\end{align}
となる. 
この結果より, 圧力の水平勾配が高度に依存しないことがわかる. 
つまり, 
\begin{align} % (4.4)
    \nabla p = \rho_0 g \nabla \eta
\end{align}
である. 
ここで
\begin{align} % (4.5)
    \nabla = \bm{i} \frac{\partial}{\partial x} + \bm{j} \frac{\partial}{\partial y}
\end{align}
は水平勾配演算子とする. 
これより, 水平方向の運動量方程式は,
\begin{align} % (4.6)
    \frac{\mathrm{D} \bm{u}}{\mathrm{D} t} + \bm{f} \times \bm{u} = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p = - g \nabla \eta
\end{align}
となる. 
ここで $\bm{u}$ は水平速度, $\bm{f} = f \bm{k}$, $f$ はコリオリ・パラメータである. 
また, $\mathrm{D}$/$\mathrm{D} t$ は物質微分を表す.  

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{./figs/Vallis_fig3.1.pdf}
    \caption{\footnotesize{浅水系の概念図. 
    $h$ は流体柱の厚さ, $H$ はその平均の厚さ, $\eta$ は任意の原点から測った自由表面の高さ, $\eta_b$ は, 任意の原点から測った, 典型的には $\eta_b$ の平均がゼロとなるように選ばれた下方の剛体面の高さである. 
    $\Delta \eta$ は自由表面高度の偏差である. 
    従って, $\eta = \eta_b + h = H + \Delta \eta$ である. 
    Vallis (2017) より引用.}}
  \end{center}
\end{figure}


次に, 導出した水平方向の運動量方程式を無次元化する. 
$L$ を運動の典型的な長さスケール, $U$ を典型的な速度スケールとし, スケールが水平方向に等方的であると仮定して, 
\begin{align} % (4.7)
    &(x, y) \sim L \qquad \mathrm{または} \qquad (x, y) = \mathcal{O} (L) \\ \nonumber
    &(u, v) \sim U \qquad \mathrm{または} \qquad (u, v) = \mathcal{O} (U)
\end{align}
と書く. 
このとき, 以下のように書くことで変数を無次元化することにする. 
\begin{align} % (4.8)
    (x, y) = L (\hat{x}, \hat{y}), \qquad (u, v) = U (\hat{u}, \hat{v})
\end{align}
ここでハット付きの変数は無次元であり, $\mathcal{O} (1)$ である. \\ 
　また, 移流項とコリオリ項の比として, ロスビー数を
\begin{align} % (4.9)
    Ro \equiv \frac{\frac{U^2}{L}}{f U} = \frac{U}{f L}
\end{align}
と定義する. \\
　時間は $L / U$ によってスケールし, 
\begin{align} % (4.10)
    t = \frac{L}{U} \hat{t}
\end{align}
とする. 
このとき, 運動量方程式中の局所的時間微分項と移流項はどちらも $U^2 / L$ とスケールされ, これらはコリオリ項よりも $\mathcal{O} (Ro)$ 倍だけ小さい. 
そのため, 運動量方程式においてコリオリ項が支配的な項となるか, コリオリ項が圧力傾度力項と釣り合う, つまり地衡流平衡となるかのどちらかになる. 
支配的な平衡が地衡流平衡となるとすると, 運動方程式中の $\Delta \eta$ は
\begin{align}
    \Delta \eta \sim \frac{f U L}{g} = Ro \frac{f^2 L^2}{g} = Ro H \frac{L^2}{L_d^2}
\end{align}
のようにスケールされる. 
ここで $L_d = \sqrt{gH} / f$ は変形半径, $H$ は流体の平均深さである. 
したがって, 流体の高さの変化は
\begin{align}
    \frac{\Delta \eta}{H} \sim Ro \frac{L^2}{L_d^2}
\end{align}
とスケールでき, 流体の高さは
\begin{align}
    \eta = H \left( 1 + Ro \frac{L^2}{L_d^2} \hat{\eta} \right), \qquad \Delta \eta = Ro \frac{L^2}{L_d^2} H \hat{\eta}
\end{align}
と書くことができる. \\
　運動量方程式 (4.6) に (4.8), (4.10), (4.13) を代入してスケールすると, 無次元化された運動量方程式
\begin{align}
    Ro \left[ \frac{\partial \hat{\bm{u}}}{\partial \hat{t}} + (\hat{\bm{u}} \cdot \nabla) \hat{\bm{u}} \right] + \hat{\bm{f}} \times \hat{\bm{u}} = - \nabla \hat{\eta} 
\end{align}
が得られる. 
ここで $\hat{\bm{f}} = \bm{k} \hat{f} = \bm{k} f / f_0$ であり, $f_0$ はコリオリ・パラメータの典型的な値である. 
以下では, $f = f_0 + \beta y$ とする. 


\section{単層の浅水系の準地衡流ポテンシャル渦度方程式}
準地衡流ポテンシャル渦度方程式を導くため, 以下の仮定をする. 
\begin{enumerate}
    \item ロスビー数は小さく, そのため流れはほぼ地衡流平衡である. 
    \item 運動のスケール $L$ は変形半径 $L_d$ よりも著しく大きくない, 特に
    \begin{align}
        Ro \left( \frac{L}{L_d} \right)^2 = \mathcal{O} (Ro)
    \end{align}
    であるとする. 
    \item コリオリ・パラメータの変動は小さい, つまり $|\beta L| \ll |f_0|$ である.
    \item 時間は移流的にスケールする, つまり, 時間に対するスケーリングは $T = L / U$ によって与えられる. 
\end{enumerate}

次に, 変数 $\hat{u}$, $\hat{v}$, $\hat{\eta}$ をロスビー数を用いて漸近級数展開する. 
つまり
\begin{align}
    & \hat{u} = \hat{u}_0 + Ro \hat{u}_1 + {Ro}^2 \hat{u}_2 + ... \\ \nonumber
    & \hat{v} = \hat{v}_0 + Ro \hat{v}_1 + {Ro}^2 \hat{v}_2 + ... \\ 
    & \hat{\eta} = \hat{\eta}_0 + Ro \hat{\eta}_1 + {Ro}^2 \hat{\eta}_2 + ... \nonumber
\end{align}
とする. 
$\beta = \hat{\beta} U / L^2$ とすると, $f = f_0 + \beta y$ より
\begin{align}
    \hat{f} = f / f_0 = \hat{f}_0 + Ro \hat{\beta} \hat{y}
\end{align}
となる. 
ここで $\hat{f}_0$ は $f_0$ を無次元化した値である. 
(4.16) を無次元の運動量方程式 (4.14) に代入し, $Ro$ のべきごとに等しいと見なすと, 最低次において
\begin{align}
    \hat{f}_0 \hat{u}_0 = - \frac{\partial \hat{\eta}_0}{\partial \hat{y}}, \qquad \hat{f}_0 \hat{v}_0 = \frac{\partial \hat{\eta}_0}{\partial \hat{x}}
\end{align}
を得る. 
交差微分を取ると
\begin{align}
    \frac{\partial}{\partial \hat{x}} \hat{f}_0 \hat{u}_0 + \frac{\partial}{\partial \hat{y}} \hat{f}_0 \hat{v}_0 = \frac{\partial}{\partial \hat{x}} \left( - \frac{\partial \hat{\eta}_0}{\partial \hat{y}} \right) + \frac{\partial}{\partial \hat{y}} \left( \frac{\partial \hat{\eta}_0}{\partial \hat{x}} \right) = 0
\end{align}
つまり
\begin{align}
    \nabla \cdot \hat{\bm{u}}_0 = 0
\end{align}
を得る. \\
　質量保存の式は最低次において $\nabla \cdot \hat{\bm{u}}_0 = 0$ であり, その次のオーダーにおいて
\begin{align}
    \left( \frac{L}{L_d} \right)^2 \frac{\partial \hat{\eta}_0}{\partial t} + \left( \frac{L}{L_d} \right)^2 \hat{\bm{u}}_0 \cdot \nabla \hat{\eta}_0 + \nabla \cdot \hat{\bm{u}}_1 = 0
\end{align}
を得る. 
ゼロ次の項の時間発展が一次の量の評価を含むので, この方程式は閉じていない. 
系を閉じるために運動量方程式の次のオーダーに進むと, 
\begin{align}
    \frac{\partial \hat{\bm{u}}_0}{\partial t} + (\hat{\bm{u}}_0 \cdot \nabla) \hat{\bm{u}}_0 + \hat{\beta} \hat{y} \bm{k} \times \hat{\bm{u}}_0 + \hat{f}_0 \bm{k} \times \hat{\bm{u}}_1 = - \nabla \hat{\eta}_1
\end{align}
が得られ, この式の回転を取ると, 渦度方程式
\begin{align}
    \frac{\partial \hat{\zeta}_0}{\partial \hat{t}} + (\hat{\bm{u}}_0 \cdot \nabla) (\hat{\zeta}_0 + \hat{\beta} \hat{y}) = - \hat{f}_0 \nabla \cdot \hat{\bm{u}}_1
\end{align}
を得る. 
この式と (4.21) より $\nabla \cdot \hat{\bm{u}}_1$ を消去して
\begin{align}
    \frac{\partial}{\partial \hat{t}} \left( \hat{\zeta}_0 - \hat{f}_0 \left( \frac{L}{L_d} \right)^2 \hat{\eta}_0 \right) + (\hat{\bm{u}}_0 \cdot \nabla) \left( \hat{\zeta}_0 + \hat{\beta} \hat{y} - \left( \frac{L}{L_d} \right)^2 \hat{f}_0 \hat{\eta}_0 \right) = 0
\end{align}
を得る. \\
　次に, 最低次の渦度場と高度場が地衡流平衡によって関係づけられていることに注意すると, (4.18) より
\begin{align}
    \hat{u}_0 = - \frac{\partial \hat{\psi}_0}{\partial \hat{y}}, \qquad \hat{v}_0 = \frac{\partial \hat{\psi}_0}{\partial \hat{x}}, \qquad \hat{\zeta}_0 = \nabla^2 \hat{\psi}_0
\end{align}
と表すことができる. 
ここで, $\hat{\psi}_0 = \hat{\eta}_0 / \hat{f}_0$ は流線関数である. 
したがって (4.24) は
\begin{align}
    \frac{\mathrm{D}_0}{\mathrm{D} \hat{t}} \left( \nabla^2 \hat{\psi}_0 + \hat{\beta} \hat{y} - \hat{f}_0^2 \left( \frac{L}{L_d} \right)^2 \hat{\psi}_0 \right) = 0
\end{align}
と書くことができる. 
ここで物質微分における添え字 $0$ は, 最低次の速度つまり地衡流の速度が移流の速度であることを示している. 
次元を復活させると, (4.26) は
\begin{align}
    \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D} t} \left( \nabla^2 \psi + \beta y - \frac{1}{L_d^2} \psi \right) = 0
\end{align}
となる. 
ここで $\psi = (g / f_0) \eta$, $L_d^2 = g H / f_0^2$ である. 
上式は浅水系の準地衡流ポテンシャル渦度方程式であり, それゆえ
\begin{align}
    q \equiv \nabla^2 \psi + \beta y - \frac{1}{L_d^2} \psi
\end{align}
で定義される量は, 浅水系の準地衡流ポテンシャル渦度である. 


\section{分散関係, 位相の速さ}
この節では, 次節にて登場する分散関係と位相の速さを説明する. \\
　分散関係とは, 振動数 $\omega$ と波数ベクトル $\bm{k} (= (k, l, m))$ の間にある特定の関係である. 
\begin{align}
    \omega = \omega (\bm{k})
\end{align}
のように表される. 
波の多くの特徴を分散関係から導くことができる. \\
　波が平面波であると仮定すると, 図 4.2 のように波は $\bm{k}$ の方向に伝播する. 
この方向にそって座標軸を合わせ, $\bm{k} \cdot \bm{x} = K x^*$ とする. 
ここで $x^*$ は $\bm{k}$ の方向に増加し, $K = |\bm{k}|$ は波数の大きさである. 
これを用いると, 
\begin{align}
    \psi = \mathrm{Re} \tilde{\psi} e^{\mathrm{i} (K x^* - \omega t)} = \mathrm{Re} \tilde{\psi} e^{\mathrm{i} K (x^* - c_p t)}
\end{align}
と書くことができる. 
ここで $c_p = \omega / K$ であり, これを位相の速さと定義する. \\
　波長 $\lambda$ は
\begin{align}
    \lambda = \frac{2 \pi}{K}
\end{align}
により与えられる. 
また, 図 4.2 より $x$ 方向と $y$ 方向の波長と波数ベクトルは
\begin{align}
    \lambda^x = \frac{\lambda}{\mathrm{cos} \phi}, \qquad \lambda^y = \frac{\lambda}{\mathrm{sin} \phi}, \qquad k^x = K \mathrm{cos} \phi, \qquad k^y = K \mathrm{sin} \phi
\end{align}
である. 
よってこれらの軸に沿って伝播する速さは
\begin{align}
    c_p^x = \frac{c_p}{\mathrm{cos} \phi} = \frac{\omega}{k^x}, \qquad c_p^y = \frac{c_p}{\mathrm{sin} \phi} = \frac{\omega}{k^y}
\end{align}
と与えられる. 

\begin{figure}[H] % 4.2
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{./figs/Vallis_fig6.1.pdf}
    \caption{\footnotesize{二次元平面波の伝播. 
    (a) 時刻 $t_1$ における等位相線}. 
    波は波長 $\lambda$ で $\bm{k}$ の方向に伝播している. 
    (b) 二つの連続した時間における同じ等位相線. 
    位相の速さは伝播方向に波の頂が進む速さであり, よって $c_p = l / (t_2 - t_1)$ である.
    Vallis (2017) より引用.}
  \end{center}
\end{figure}

\section{ロスビー波}
ロスビー波は流体パーセルのポテンシャル渦度を保存するようにして起こる運動である. 
そのため, 以下では前節で導出したポテンシャル渦度方程式 (4.27) を変形してロスビー波の特徴を確認する. 
\vspace{12pt} \\
　流れを基本状態と擾乱に分けて, ポテンシャル渦度方程式 (4.27) を東西流 $\bar{u} (y)$ について線形化する. 
ここで基本状態は上付きバー, 擾乱はプライム記号で表され, 基本状態は時間に依存しない $y$ の関数であり, また擾乱は平均流と比べて小さいと仮定する. 
つまり, ポテンシャル渦度 $q$ と流線関数 $\psi$ は
\begin{align}
    q = \bar{q} (y) + q' (x, y, t), \qquad \psi = \bar{\psi} (y) + \psi' (x, y, t)
\end{align}
と表される. 
これらをポテンシャル渦度方程式 $\partial q / \partial t + \bm{u} \cdot \nabla q = 0$ に代入すると
\begin{align}
    \frac{\partial q'}{\partial t} + \bar{\bm{u}} \cdot \nabla \bar{q} + \bar{\bm{u}} \cdot \nabla q' + \bm{u}' \cdot \nabla \bar{q} + \bm{u}' \cdot \nabla q' = 0
\end{align}
を得る. 
プライム付きの量は小さいので, それらの積を含む項を無視する. 
さらに, 運動方程式の解である状態について線形化しているので, $\bar{\bm{u}} \cdot \nabla \bar{q} = 0$ である. 
また, $\bar{v} = 0$ と $\partial \bar{q} / \partial x = 0$ とすると
\begin{align}
    \frac{\partial q'}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial q'}{\partial x} + v' \frac{\partial \bar{q}}{\partial y} = 0
\end{align}
を得る. \\
　いま, $\bar{v} = 0$ としているため, $\bar{\psi} = - \bar{u} y$ である. 
よってポテンシャル渦度は (4.28) より $\bar{q} = \bar{u} y k_d^2 + \beta y$ であり, その勾配は $\nabla \bar{q} = (\beta + \bar{u} k_d^2) \bm{j}$ である. 
線形化したポテンシャル渦度方程式 (4.36) にこれらを代入すると
\begin{align}
    \left( \frac{\partial}{\partial t} + \bar{u} \frac{\partial}{\partial x} \right) (\nabla^2 \psi' - \psi' k_d^2) + (\beta + \bar{u} k_d^2) \frac{\partial \psi'}{\partial x} = 0
\end{align}
を得る. 
擾乱が平面波である仮定として $\psi' = \mathrm{Re} \tilde{\psi} e^{\mathrm{i} (k x + l y - \omega t)}$ を代入すると, 分散関係
\begin{align}
    \omega = \frac{k (\bar{u} K^2 - \beta)}{K^2 + k_d^2} = \bar{u} k - k \frac{\beta + \bar{u} k_d^2}{K^2 + k_d^2}
\end{align}
を得る. 
よって, 位相の速さの東西成分は
\begin{align}
    c_p^x \equiv \frac{\omega}{k} = \bar{u} - \frac{\beta + \bar{u} k_d^2}{K^2 + k_d^2} = \frac{\bar{u} K^2 - \beta}{K^2 + k_d^2} 
\end{align}
となる. 
(4.39) より, 東西平均流 $\bar{u}$ がなければ $C_p^x$ は常に負であり, 波の移送が常に西向きになることが確認できる. 
\vspace{12pt}\\
　ここではロスビー波の特徴を説明するため, $\beta$ 平面における順圧流れを考える最も単純な場合, つまりポテンシャル渦度が絶対渦度 $\beta y + \zeta$ である場合を考える. 
この場合の二次元ロスビー波を図 4.3 に示す. 
絶対渦度の保存より, 北向きの変位は負の相対渦度の生成を, 南向きの変位は正の相対渦度の生成をもたらす. 
相対渦度は速度場を生み出し, 物質線の流体パーセルを移流する. 
そして, 波の位相は西向きに伝播する. 

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{./figs/Vallis_fig6.6.pdf}
    \caption{\footnotesize{二次元 ($x y$ 平面) のロスビー波. 
    初期のゆらぎは緯度が一定であるところ (まっすぐな水平線) にある物質線を $\eta (t = 0)$ と記された実線へと変位させる. 
    物質線はその後西へ伝播する位相を伴って, 破線 ($\eta (t > 0)$) へと発展する.
    Vallis (2017) より引用.}}
  \end{center}
\end{figure}

太平洋・北米パターンは定常ロスビー波であるため, (4.39) において $c_p^x = 0$ として変形すると, 
\begin{align}
    K = \sqrt{\frac{\beta}{\bar{u}}}
\end{align}
が得られる. 
ここで, $\beta \sim 10^{-11} [\mathrm{m}^{-1} \mathrm{s}^{-1}]$, $\bar{u} \sim  10^1 [\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}]$ なので
\begin{align}
    K \sim 10^{-6} [\mathrm{m}^{-1}] \sim 1 [(1000 \mathrm{km}^{-1})]
\end{align}
となる. 
北アメリカ大陸の東西方向の広がりは約 $4000$ km であり, 太平洋・北米パターンでは北アメリカ大陸上に約 1 波長のロスビー波が存在するため, 上記の波数 $K$ は太平洋・北米パターンの波数と同じオーダーをとっていることがわかる. 
つまり, 水平方向においては, 単層の準地衡流浅水方程式を用いたロスビー波は太平洋・北米パターンのロスビー波と類似した波数となった. 

%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
