
%% % 卒業論文 
%% % タイトル「未定」
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\pagebreak

\pagestyle{DAmyheadings}
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\setcounter{chapter}{0}
\chapter{はじめに}

\section{金星大気の観測と課題点}

地球を始めとする太陽系の惑星はそれぞれ大気を持ち, 特徴的な大気現象が発生している. 例として金星を取り上げると, スーパーローテーションという現象が起こっている. これは全球的に自転速度を上回る速さで自転方向に風が吹く現象である. 金星では高度 60 \textrm{km} 程度の上空で約 100 \text{m/s} に達する東風が吹いており, これは金星の自転速度の約 60 倍にもなる. (図 \ref{fig:A}, 図 \ref{fig:B}).
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/FigA.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    探査機 Pioneer Venus (パイオニア・ヴィーナス) と Veneras (ヴェネラ) によって観測された, 金星の東風の鉛直分布. V8, V9, V10, V12 は Veneras 8, 9, 10, 12 のことを表している. また, NORTH, DAY \& NIGHT, SOUNDER のデータは Pioneer Venus によるデータである. (Schubert, 1983)} \label{fig:A}
  %\Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/FigB.pdf}
  \end{center}
  \caption{
  金星のスーパーローテーションのイメージ図. 金星の自転方向, すなわち西向きに循環が生じている.} \label{fig:B}
  %\Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
スーパーローテーションを始めとし, 金星大気現象に対する研究は進められているが, 金星には上空 50 〜 70 \textrm{km} に硫酸の雲が存在しており, 地表面付近及び雲層内部の可視光での観測はできない (図 \ref{fig:C}).
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/FigC.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    金星大気における雲層の鉛直分布図. 高度約 50 〜 約 70 \textrm{km} 付近に雲層が存在している. 図の横軸は任意の地点の地表面である.} \label{fig:C}
  %\Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
そのため, 観測データが限られており, 大気内部の循環の様子, さらに大気現象についても完全には解明されていない.
そこで, 大気現象の理解のための別の方法として, 方程式系の数値計算をして解析を行う方法がある.

%私の研究としての最終目標は, 金星大気の数値計算モデルを用いて解析を行うことである. 本卒業研究では, その前段階として数値計算モデルで用いられるような方程式系への理解を深めることを目標とし, 回転球面座標系における流体の運動方程式の導出を行った.
%
\section{流体の運動方程式}

惑星大気の運動は, 質量の連続の式, 
%
%\begin{equation}
%  %
%  \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0,
%  %
%\end{equation}
%
流体の運動方程式, 
%
%\begin{equation}
%  %
%  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} %
%  = - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{F},
%  %
%\end{equation}
%
熱力学方程式, 
%
%\begin{equation}
  %
%  \frac{\mathrm{D} \theta}{\mathrm{D} t} = \frac{1}{c_p} \left( \frac{\theta}{T} \right) \dot{Q},
  %
%\end{equation}
%
状態方程式
%
%\begin{equation}
  %
%  p = g(\theta, \rho)
  %
%\end{equation}
%
といった方程式系によって支配されており, 数値計算を行う場合にはこれらの式, もしくはより現実の大気に近づけるための近似や変形を行い, 初期値や境界条件を指定したものを用いて計算が行われる. 本卒業研究では, 特に流体の運動方程式について着目し, 数値計算に用いられるような方程式への理解を深める.

流体の運動方程式は
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} %
  = - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{F} \notag
  %
\end{equation}
%
と表すことができる($ \boldsymbol{v} $ は流体粒子の速度, $ \mathrm{D} / \mathrm{D} t $ は $ \partial / \partial + \boldsymbol{v} \cdot \nabla $ の物質微分を表す演算子, $ \rho $ は流体密度, $ \nu $ は動粘性係数, $ \boldsymbol{F} $ は流体にかかる外力である). 惑星大気を考えるとき, 流体としての大気は粘性がとても小さいため, 非粘性流体を考えることができる. したがって本卒業研究で対象とする方程式は非粘性流体の運動方程式であり,
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} %
  = - \frac{\nabla p}{\rho} + \boldsymbol{F} \label{eq:1.1}
  %
\end{equation}
%
である. この式には速度の物質微分を用いられている. また, \eqref{eq:1.1} は静止しているのならば座標系を問わない形で記述されている. しかし, 実際には惑星は自転を行っており, 座標系自体も回転軸の周りを回転している. したがって, \eqref{eq:1.1} より, 座標系の回転によって生じる効果を考える必要がある. また惑星はその形状を回転楕円体に近似することができる. しかし, 極方向と赤道方向の半径の差は僅かであるため, 形状はさらに球に近似することができる. これらの考え方を用いると,  \eqref{eq:1.1} を回転球座標系で記述することが考えられる. 球座標系で記述するならば, 緯度, 経度, 惑星中心からの距離を用いて計算を行うことができるようになる.

\section{本論文の目的と構成}

この卒業論文では, \eqref{eq:1.1} に着目し, 回転している球座標での非粘性流体の運動方程式を記述する. また, 記述された方程式を考察し, 運動方程式への理解を深めることを目的とする. なお, 一連の導出は Vallis (2017) を参考に行った.

第 2 章では, まず任意の座標系が回転しているときのベクトルの変化率を計算し, 回転の効果を求める. そして, 回転の効果を含んだ非粘性流体の運動方程式の導出を行う.

第 3 章では, 球座標系におけるベクトルや微分の表記を確認し, それらを用いた回転球座標系の非粘性流体運動方程式を記述する.

第 4 章では, 第 2 章, 第 3 章を踏まえた運動方程式の考察を行う.

第 5 章では, 本論文の結論を記している.

% ここで本文おしまい
%\end{document}

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%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
