
%% % 卒業論文 
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%\chapter{支配方程式の導出}
%
\chapter{回転系における運動方程式の導出}
\markright{第\arabic{chapter}章 回転系における運動方程式の導出} 
%
この章では, 回転系における運動方程式の導出を行う. まずデカルト座標系における回転に伴うベクトルの変化率を求め, これを用いて回転系における位置ベクトル, 速度ベクトルの表現を考える. これらを用いて流体の運動方程式を求める. さらに回転に伴うスカラーの時間変化率を考える.

%
\section{回転を伴うベクトルの変化率}
%
ある慣性系におけるデカルト座標を考える. 長さ一定のベクトル $ \boldsymbol{C} $が一定の角速度 $ \Omega $ で z 軸周りを回転するとき, 微小時間 $ \delta t $ の間で微小角度 $ \delta \lambda = \Omega \delta t $ 回転する. この回転によるベクトル $ \boldsymbol{C} $ の変化 $ \delta \mathbf{C} $ は
%
\begin{equation}
  \delta \boldsymbol{C} = \left| \boldsymbol{C} \right| cos \vartheta \cdot \delta \lambda \cdot \boldsymbol{m} \label{eq:2.1}
\end{equation}
%
であらわされる. $ \vartheta $ は $ z = 0 $ の面とベクトル $ \boldsymbol{C} $ がなす角, $ \boldsymbol{m} $ は $ \boldsymbol{C} $ が変化する方向の単位ベクトルである. ここで $ \hat{\vartheta} = \pi/2 - \vartheta $ を導入する. $ \hat{\vartheta} $ は角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega} $ と $ \boldsymbol{C} $ の成す角であり, これを用いると \eqref{eq:2.1} 式は $ \boldsymbol{\Omega} $ と $ \boldsymbol{C} $ の外積の形で表せることがわかる.
%
\begin{align}
  %
  \delta \boldsymbol{C} %
  &= \left| \boldsymbol{C} \right| cos \vartheta \cdot %
  \left| \boldsymbol{\Omega} \right| \delta t \cdot \boldsymbol{m} \notag \\
  %
  &= \left| \boldsymbol{C} \right| \left| \boldsymbol{\Omega} %
  \right| sin \hat{\vartheta} \boldsymbol{m} \cdot \delta t \notag \\
  %
  &= \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{C} \delta t \label{eq:2.2}
  %
\end{align}
%
\eqref{eq:2.2} 式の両辺を $ \delta t $ で割り, $ \delta t \to 0 $ の極限操作を行うと
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{C}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{C} \label{eq:2.3}
  %
\end{equation}
%
となり, この左辺は $ \boldsymbol{C} $ の変化率を表している. 以上を図示すると図 \ref{fig:1} のとおりである.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig1.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    角速度 $ \Omega $ で回転するベクトル $ \boldsymbol{C} $. ベクトル $ \boldsymbol{C} $ は長さ一定であり, 回転系において定ベクトルである. 慣性系においては, 微小時間 $ \delta t $ の間に $ \delta \boldsymbol{C} = \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{C} \delta t $ 変化する. 従って慣性系におけるベクトル $ \boldsymbol{C} $ の変化率は $ \mathrm{d} \boldsymbol{C} / \mathrm{d} t = \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{C} $ である.} \label{fig:1}
  %\Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%

ここで z 軸の周りを一定の角速度 $ \Omega $ で回転する系を考えると $ \boldsymbol{C} $ は定ベクトルである. この回転系において変化するベクトル $ \boldsymbol{B} $ について, 回転系における変化量を $ (\delta \boldsymbol{B})_R $, 慣性系における変化量を $ (\delta \boldsymbol{B})_I $, 慣性系における回転による変化量を $ (\delta \boldsymbol{B})_{rot} $ とする. 以降, 慣性系における物理量には I , 回転系における物理量には R を添え字として付ける. 3 つの変化量の関係式は
%
\begin{equation}
  %
  ( \delta \boldsymbol{B} )_I = %
  ( \delta \boldsymbol{B} )_R + ( \delta \boldsymbol{B} )_{rot} \label{eq:2.4}
  %
\end{equation}
%
である. \eqref{eq:2.2} 式より, 回転による変化は $ \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{B} \delta t $ であるので,
%
\begin{equation}
  %
  ( \delta \boldsymbol{B} )_I = ( \delta \boldsymbol{B} )_R %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{B} \delta t \label{eq:2.5}
  %
\end{equation}
%
となる. \eqref{eq:2.2} 式から \eqref{eq:2.3} 式への変形と同じように変形を行うと,
%
\begin{equation}
  %
  \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}}{\mathrm{d} t} \right)_I = %
  \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{B}}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{B} \label{eq:2.6}
  %
\end{equation}
%
となる. \eqref{eq:2.6} 式はベクトル $ \boldsymbol{B} $ の慣性系における変化率と, 回転系における変化率の関係式である.
%
\section{回転系における速度と加速度}
%
位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ に \eqref{eq:2.6} 式を適用すると,
%
\begin{equation}
  %
  \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  = \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \right)_R + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} \label{eq:2.7}
  %
\end{equation}
%
である. 位置ベクトルの時間変化率は速度であるため, 速度ベクトル $ \boldsymbol{v} $ を用いて \eqref{eq:2.7} 式は
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{v}_I = \boldsymbol{v}_R  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} \label{eq:2.8}
  %
\end{equation}
%
となる. ここで $ \boldsymbol{v}_I $ は慣性速度, $ \boldsymbol{v}_R $ は相対速度と呼ばれる. $ \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} $ は回転による位置ベクトルの変化率, すなわち回転の速度である. 相対速度に着目し, 再度 \eqref{eq:2.6} 式を適用し, \eqref{eq:2.8} 式を用いながら変形すると
%
\begin{align}
  %
  \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  &= \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R \notag \\
  %
  \left( \frac{\mathrm{d} (\boldsymbol{v}_I - \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r})}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  &= \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R \notag \\
  %
  \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_I}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  &= \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  + \left( \frac{\mathrm{d} \left( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} \right)}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R \notag \\
  %
  &= \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  + \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\Omega}}{\mathrm{d} t} \times \boldsymbol{r} %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R \notag \\
  %
  &= \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  + 0 \times \boldsymbol{r} %
  + \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{v}_R + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) %
  + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R \notag \\
  %
  &= \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  + \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) \label{eq:2.9}
  %
\end{align}
%
となる. この変形において回転系は一定の角速度で回転している, つまり $ \mathrm{d} \boldsymbol{\Omega} / \mathrm{d} t = 0 $ を用いた. \eqref{eq:2.9} の右辺第 2 項と第 3 項を移項すると次の式が得られる.
%
\begin{equation}
  %
  \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  = \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_I}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  - 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  - \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) %
  \quad \text{at} \quad \left| \boldsymbol{\Omega} \right| = \Omega = const　\label{eq:2.10}
  %
\end{equation}
%
\eqref{eq:2.10} 式は回転系における相対速度の変化率, すなわち相対加速度と, 慣性系における慣性速度の変化率, すなわち慣性加速度の関係式である. ここで右辺第 2 項, 第 3 項はそれぞれ単位質量あたりの\textbf{コリオリ力}と\textbf{遠心力}であり, 回転系から観測した際に物体に影響を与えているかのように振る舞う見かけの力を表している.
%
% コリオリ力, 遠心力の subsection 移動済み
\subsection*{遠心力}
%
単位質量あたりの遠心力 $ \boldsymbol{F}_{ce} $ は
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{F}_{ce} %
  = - \boldsymbol{\Omega} \times ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} ) \label{eq:2.11}
  %
\end{equation}
%
で表される.

ここで, 図 \ref{fig:2.2} のように, 角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega} $ と位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ の同一平面上に存在し, $ \boldsymbol{\Omega} $ に対し直角に存在するベクトル $ \boldsymbol{r_{\perp} } $ を考える.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 0, scale = 0.5]{./Fig/Fig2-2.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    角速度 $ \Omega $ で回転する位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $. 角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega} $ と位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ と同じ平面上に存在し, 位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ と終点を共有しながら角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega} $ に垂直に交わるベクトルを $ \boldsymbol{r}_{\perp} $ とする. } \label{fig:2.2}
  %\Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
$ \boldsymbol{r_{\perp}} $ について, $ | \boldsymbol{r_{\perp}} | = | \boldsymbol{r} | sin \hat{\vartheta} $ である. また, 物体の進行方向の単位ベクトルを $ \boldsymbol{m} $ とすると, $ \boldsymbol{r_{\perp}} \perp \boldsymbol{m} $ である. 従って, 角速度ベクトルと位置ベクトルの外積について
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} %
  &= | \boldsymbol{\Omega} | | \boldsymbol{r} | sin \hat{\vartheta} \boldsymbol{m} \notag \\
  %
  &= | \boldsymbol{\Omega} | | \boldsymbol{r_{\perp}} | \boldsymbol{m} \notag \\
  %
  &= \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r_{\perp}} \label{eq:2.12}
  %
\end{align}
%
が成り立つ. \eqref{eq:2.16} 式を用いて $ \boldsymbol{F}_{ce} $ を表すと,
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{F}_{ce} %
  &= - \boldsymbol{\Omega} \times ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r_{\perp}} ) \notag \\
  %
  &= -(( \boldsymbol{\Omega} \cdot \boldsymbol{r_{\perp}} ) \boldsymbol{\Omega} %
  - ( \boldsymbol{\Omega} \cdot \boldsymbol{\Omega} ) \boldsymbol{r_{\perp}}) \notag \\
  %
  &= 0 + ( \boldsymbol{\Omega} \cdot \boldsymbol{\Omega} ) \boldsymbol{r_{\perp}} \notag \\
  %
  &= \Omega^2 \boldsymbol{r_{\perp}} \label{eq:2.13}
  %
\end{align}
%
が成り立つ. ここでスカラーポテンシャル $ \Phi_{ce} $ を導入する. $ \Phi_{ce} $ は以下の式で定義する.
%
\begin{align}
  %
  \Phi_{ce} %
  &= - \frac{ \Omega^2 |r_{\perp}|^2 }{2} \notag \\
  %
  &= - \frac{ {|\boldsymbol{\Omega}|^2 |r_{\perp}| }^2 }{2} \notag \\
  %
  &= - \frac{( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r_{\perp}} )^2}{2} \label{eq:2.14}
  %
\end{align}
%
スカラーポテンシャル $ \Phi_{ce} $ の勾配は,
%
\begin{align}
  %
  \nabla \Phi_{ce} %
  &= \left( - \frac{1}{2} \right) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} |\boldsymbol{r_{\perp}}|}  ( \Omega^2 |\boldsymbol{r_{\perp}}|^2) \cdot \boldsymbol{e_{r_{\perp}}} \notag \\
  %
  &= - \Omega^2 |\boldsymbol{r_{\perp}}| \cdot \boldsymbol{e_{r_{\perp}}} \notag \\
  %
  &= - \Omega^2 \boldsymbol{r_{\perp}} \label{eq:2.15}
  %
\end{align}
%
であるため, 単位質量あたりの遠心力は
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{F_{ce}} = - \nabla \Phi_{ce} \label{eq:2.16}
  %
\end{equation}
%
となる.
%
%
\section{回転系における運動方程式}
%
\eqref{eq:2.10} は相対加速度と慣性加速度の関係を表している. また慣性系における圧縮非粘性流体の運動方程式 \eqref{eq:1.1} の $ \boldsymbol{v} $ を $ \boldsymbol{v}_I $ と書き直すと
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v_I}}{\mathrm{D} t} %
  = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \boldsymbol{F} \label{eq:2.17}
  %
\end{equation}
%
である. ここで扱われている $ \rho $ は流体の密度, $ p $ は流体中にかかる圧力, $ \boldsymbol{F} $ は重力などの外力を表す. 運動方程式は流体粒子に対する時間微分, すなわち物質微分を用いて記述されており, 任意の質点の速度ベクトルの時間微分 \eqref{eq:2.10} を適用することで回転系における流体の運動方程式を記述することができる. 従って \eqref{eq:2.17} の左辺に \eqref{eq:2.10} の相対加速度と慣性加速度の関係式を使って
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} %
  + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  + \boldsymbol{\Omega} \times ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) %
  = - \frac{1}{\rho}\nabla{p} + \boldsymbol{F} \notag 
  %
\end{equation}
%
が得られる. \eqref{eq:2.11}, \eqref{eq:2.13} より, $ - \boldsymbol{\Omega} \times ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} ) = \Omega^2 \boldsymbol{r}_{\perp} $ を用いると
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} %
  + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R - \Omega^2 \boldsymbol{r}_{\perp} = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \boldsymbol{F} \notag 
  %
\end{equation}
%
である. \eqref{eq:2.16} より遠心力項 $ - \Omega^2 \boldsymbol{r}_{\perp} $ をポテンシャル $ \Phi_{ce} $ を使って書き直すと
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} %
  + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R + \nabla \Phi_{ce} %
  = - \frac{1}{\rho} \nabla p + \boldsymbol{F} \notag
  %
\end{equation}
%
であり, 左辺第 3 項を移項して
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} %
  + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  = - \frac{1}{\rho} \nabla p - \nabla \Phi_{ce} + \boldsymbol{F} \label{eq:2.18}
  %
\end{equation}
%
となり, 回転系における非粘性流体の運動方程式を導けた. 
%
%\section{物理量の保存}
%
%慣性系において
%
%\begin{equation}
%  %
%  \left( \frac{\mathrm{D} \phi_I}{\mathrm{D} t} \right)_I + \phi_I \nabla \cdot \boldsymbol{v}_I %
%  = 0 \label{eq:2.23}
%  %
%\end{equation}
%%
%に従うスカラー場 $ \phi_I $ を考える. 今, 慣性系, 回転系の両方で, 観測者は同じ値のスカラー場を観測する. すなわち回転系におけるスカラー場の値 $ \phi_R $ は $ \phi_R = \phi_I = \phi $ である.
%ここで $ \phi $ の系による空間微分による値の違いについて考える. まず $ \phi $ の慣性系における時間偏微分は, 時刻の初期値 $ t_0 $, 慣性系にて固定された位置ベクトル $ \boldsymbol{r}_I $ を用いて
%%
%\begin{align}
%  %
%  \left( \frac{\partial \phi_I}{\partial t} \right)_I %
%  &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\phi_I(\boldsymbol{r}_I, t_0 + \Delta t) - \phi_I(\boldsymbol{r}_I, t_0)}{\Delta t} \notag \\
%  %
%  &= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \left( \phi(\boldsymbol{r}_I, t_0) %
%  + \frac{\partial \phi (\boldsymbol{r}_I, t_0)}{\partial t} \Delta t %
%  - \phi (\boldsymbol{r}_I, t_0) \right) \notag \\
%  %
% &= \frac{\partial \phi (\boldsymbol{r}_I, t_0)}{\partial t} \label{eq:2.24}
%  %
%\end{align}
%%
%である. 次に, 角速度 $ \boldsymbol{\Omega} $, 速度 $ \boldsymbol{v} $ で回転している回転系での時間偏微分を考える. 時刻 $ t $ における回転系において固定された位置ベクトルを $ \boldsymbol{r}_R (t) $ とする. とある時刻 $ t_0 $ 時点での位置ベクトルが慣性系と一致する, すなわち $ \boldsymbol{r}_R (t_0) = \boldsymbol{r}_I $ とすると, 
%%
%\begin{align}
%  %
%  \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)_R %
%  &= \lim_{\Delta t \to 0} \left( \frac{\phi(\boldsymbol{r}_R(t_0 + \Delta t) , \, t_0 + \Delta t) - \phi(\boldsymbol{r}_R(t_0), \, t_0)}{\Delta t} \right) \notag \\
%  %
%  \intertext{時刻 $ t_0 ＋\Delta t $ における位置ベクトルは $ \boldsymbol{r}_R (t_0 + \Delta t ) = \boldsymbol{r}_I + \Delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}_I + \boldsymbol{v} \Delta t $ より}
%  %
%  &= \lim_{\Delta t \to 0} \left( \frac{\phi(\boldsymbol{r}_I + \boldsymbol{v} \Delta t , \, t_0 + \Delta t) - \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\Delta t} \right) \notag \\
%  %
%  \intertext{ここでデカルト座標を仮定し, $ \boldsymbol{v} = (v_x, v_y, v_z) $ とすると, $ x $, $ y $, $ z $ 方向の位置ベクトルの変化量は $ v_x \Delta t $, $ v_y \Delta t $, $ v_z \Delta $ となるため, $ \phi(\boldsymbol{r}_I + \boldsymbol{v} \Delta t , \, t_0 + \Delta t) $ を $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ の 4 成分についてテイラー展開を行うと}
%  %
%  \begin{split}
%    = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \left( \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0) %
%    + \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial x} v_x \Delta t %
%    + \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial y} v_y \Delta t \right. \\
%    + \left.
%    \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial z} v_z \Delta t %
%    + \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial t} \Delta t %
%    - \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0) \right)
%  \end{split} \notag \\
%  %
%  &= \begin{pmatrix}
%    v_x \\
%    v_y \\
%   v_z
%  \end{pmatrix} %
%  \cdot %
%  \begin{pmatrix}
%    \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial x} \\
%    \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial y} \\
%    \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial z}
%  \end{pmatrix} %
%  + \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial t} \Delta t \notag \\
%  %
% &= \boldsymbol{v} \cdot \nabla \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0) + \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial t} \notag \\
%  %
%  \intertext{\eqref{eq:2.8} より回転の速度は $ \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} $ であるため, $ \boldsymbol{v} $ に $ \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}_I $ を代入して}
%  %
%  &= ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}_I) \cdot \nabla \phi + \frac{\partial \phi(\boldsymbol{r}_I, \, t_0)}{\partial t} \label{eq:2.25}
%  %
%\end{align}
%%
%である. また, 慣性速度 $ \boldsymbol{v}_I $ と スカラー場の勾配 $ \nabla \phi $ の積は
%%
%\begin{align}
%  %
%  \boldsymbol{v}_I \cdot \nabla \phi %
%  &= (\boldsymbol{v}_R + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}_I) \cdot \nabla \phi \notag \\
%  %
%  (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}_I) \cdot \nabla \phi %
%  &= \boldsymbol{v}_I \cdot \nabla \phi - \boldsymbol{v}_R \cdot \nabla \phi \label{eq:2.26}
%  %
%\end{align}
%%
%である. \eqref{eq:2.25} に \eqref{eq:2.24}, \eqref{eq:2.26} を代入して
%%
%\begin{align}
%  %
% \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)_R %
%  &= \boldsymbol{v}_I \cdot \nabla \phi - \boldsymbol{v}_R \cdot \nabla \phi %
% + \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)_I \notag \\
% %
%  \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)_R + \boldsymbol{v}_R \cdot \nabla \phi %
%  &= \left( \frac{\partial \phi}{\partial t} \right)_I + \boldsymbol{v}_I \cdot \nabla \phi \notag \\
%  %
% \left( \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} \right)_R %
% &= \left( \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} \right)_I \label{eq:2.27}
% %
%\end{align}
%%
%であり, $ \phi $ の変化率は系によらないことが分かる.
%%
%さらに, 慣性速度 $ \boldsymbol{v}_I $ の発散 $ \nabla \cdot \boldsymbol{v}_I $ について, $ \nabla \cdot (\Omega \times \boldsymbol{r}) = 0 $ \footnote{
%  $ \nabla \cdot (\Omega \times \boldsymbol{r}) = 0 $ は以下のように導出できる.
%  %
%  \begin{align}
%   %
%    \nabla \cdot ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} ) %
%    &= \nabla \cdot %
%   \left( \begin{pmatrix}
%      \omega_x \\
%     \omega_y \\
%      \omega_z
%   \end{pmatrix}
%   \times
%    \begin{pmatrix}
%      x \\
%      y \\
%      z
%    \end{pmatrix} \right) \notag \\
%    %
%    &= \nabla \cdot %
%    \begin{pmatrix}
%      \omega_y z - \omega_z y \\
%      \omega_z x - \omega_x z \\
%      \omega_x y - \omega_y x
%   \end{pmatrix} \notag \\
%    %
%    &= 0 \notag
%    %
%  \end{align}
%}を用いると
%%
%\begin{align}
%  %
%  \nabla \cdot \boldsymbol{v}_I %
% &= \nabla \cdot ( \boldsymbol{v}_R + \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} )\notag \\
%  %
%  &= \nabla \cdot \boldsymbol{v}_R + \nabla \cdot ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} ) \notag \\
%  %
%  &= \nabla \cdot \boldsymbol{v}_R \label{eq:2.28}
%  %
%\end{align}
%%
%が得られる. \eqref{eq:2.27}, \eqref{eq:2.28} の結果より, 慣性系におけるスカラー場 $ \phi $ の時間変化率である \eqref{eq:2.23} は
%%
%\begin{equation}
%  %
%  \left( \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} \right)_I + \phi \nabla \cdot \boldsymbol{v}_I %
%  = \left( \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} \right)_R + \phi \nabla \cdot \boldsymbol{v}_R %
%  = 0 \label{eq:2.29}
%  %
%\end{equation}
%%
%と表すことができる. これは慣性系と回転系の両方において同じ値が観測されるスカラー場 $ \phi $ の時間変化率は系によらず, 回転の影響を受けないことを示している. 一般的には
%%
%\begin{equation}
%  %
%  \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} + \phi \nabla \cdot \boldsymbol{v}= 0 \label{eq:2.30}
%  %
%\end{equation}
%%
%と記述され, この式においては系を示す添字が外されている. \eqref{eq:2.30} を用いるとき, 物理量には回転系での観測値が用いられる. \eqref{eq:2.30} に従う物理量の例として密度 $ \rho $ があり, $ \phi $ を $ \rho $ として記されたものは質量保存の方程式, もしくは質量保存則としていられている. 以上より, 質量保存の方程式は回転の影響を受けないことが分かる.

% ここで本文おしまい
%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
