
%% % 卒業論文 
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%\chapter{支配方程式の導出}
%
\chapter{球座標系における運動方程式の導出}
\markright{第\arabic{chapter}章 球座標における運動方程式の導出} 
%
この章では, 球座標における $ \nabla $ を用いた演算子を導き, それらを用いて回転球座標における運動方程式を導出する.

まず, 球座標系における物質微分を, 局所平面における物質微分に, 球座標の微小量を代入することで求める. 

次に演算子 $ \nabla $, 及び $ \nabla $ を利用したベクトルの恒等式を, 惑星の中心を中心としたデカルト座標との対応を考えながら導出する.
%
\section{遠心力と球座標}
%
2.2 節より, 遠心力はスカラーポテンシャルを用いて表現できることがわかった. また重力, すなわち惑星と惑星上の物質による万有引力によるニュートン引力もポテンシャルによって表現できる, ポテンシャル力であることが知られている. そのため, 遠心力とニュートン引力の和として実効重力 $ \boldsymbol{g} $ を定義できる.
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{g} & \equiv \boldsymbol{g}_{grav} + \boldsymbol{F}_{ce} \notag \\
  & = \boldsymbol{g}_{grav} + \Omega^2 \boldsymbol{r}_{\perp} \label{eq:3.1}
  %
\end{align}
%
ここで, $ \boldsymbol{g}_{grav} $ はニュートン引力, $ \boldsymbol{F}_{ce} $ は遠心力, $ \boldsymbol{r}_{\perp} $ は角速度ベクトルに対し垂直で大きさ $ r_{\perp} = r \cos \theta $ を持つベクトル, $ r $ は物体と惑星の中心の間の距離, $ \theta $ は緯度を表す. $ \boldsymbol{g} $ について, ニュートン引力, 遠心力ともにスカラーポテンシャルを用いて表現することができるため, 実効重力もまたジオポテンシャル $ \Phi $ を
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{g} = - \nabla \Phi \label{eq:3.2}
  %
\end{equation}
%
と定義することができる. このジオポテンシャルが一定の面は厳密には球形ではない. なぜなら, 遠心力の大きさ $ r_{\perp} $ が緯度によって変化し, 重力と遠心力の合成によって得られる実効重力の方向が惑星の中心方向とからずれるからである.
%

ここで, 地球を例にとって, 形状が完全な球であると仮定した場合における, 東西風が存在している大気の局所平面に対し垂直な方向と平行な方向の力のバランスについて考える. 任意の局所平面に対しかかっている力は図 \ref{fig:2} において表したとおりである. 遠心力の大きさは $ | \boldsymbol{F}_{ce} | = | \Omega^2 \boldsymbol{r}_{\perp} | = \Omega^2 r_{\perp} $ である. またコリオリ力の大きさは $  | \boldsymbol{F}_{Co} | = | -2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R | = 2 \Omega | \boldsymbol{v}_R | $ である.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig2.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    惑星を回転軸と任意の地点を表す位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ を含むように切ったときの断面図と, その地点においてかかっている重力 $ \boldsymbol{g}_{grav} $, 遠心力 $ \boldsymbol{F}_{ce} $, コリオリ力 $ \boldsymbol{F}_{Co} $ を表した図. 遠心力は回転軸に垂直方向に働くため, 位置ベクトルが表す地点の局所平面に対し, 垂直な成分と平行な成分に分解でき, その大きさは緯度を $ \theta $ とするとそれぞれ $ | \boldsymbol{F}_{ce} | \cos \theta $, $ | \boldsymbol{F}_{ce} | \sin \theta $ である. コリオリ力についても同様に分解でき, 垂直な成分と平行な成分はそれぞれ $ | \boldsymbol{F}_{Co} | \cos \theta $, $ | \boldsymbol{F}_{Co} | \sin \theta $ である.} \label{fig:2}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%

遠心力とコリオリ力の局所平面に垂直な成分の大きさはそれぞれ $ \Omega^2 r_{\perp} \cos \theta = \Omega^2 r \cos^2 \theta $, $ 2 \Omega | \boldsymbol{v}_R | \cos \theta $ である. これらの和と重力の大きさとの比を考えると 
%
\begin{align}
  %
  \frac{\Omega^2 r \cos^2 \theta + 2 \Omega | \boldsymbol{v}_R | \cos \theta}{ | \boldsymbol{g}_{grav} | } %
  &= \frac{\Omega^2 a \cos^2 \theta}{ | \boldsymbol{g}_{grav} | } %
  + \frac{2 \Omega | \boldsymbol{v}_R | \cos \theta}{ | \boldsymbol{g}_{grav} | } \notag \\
  %
  & \approx \frac{\Omega^2 a}{ | \boldsymbol{g}_{grav} | } + \frac{2 \Omega | \boldsymbol{v}_R | \cos \theta}{ | \boldsymbol{g}_{grav} | } \notag \\
  % 
  & \approx \frac{(7.2 \times 10^{-5})^2 \times 6.4 \times 10^6}{9.8} + \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-5} \times 1.0 \times 10}{9.8} \notag \\
  %
  & \approx 3.4 \times 10^{-3} + 1.5 \times 10^{-5} \label{eq:3.3}
  %
\end{align}
%
となる. ここでニュートン引力の大きさ $ | \boldsymbol{g}_{grav} | $ には 9.8 $ \mathrm{N}/\mathrm{s}^2 $, $ \Omega $ には地球の自転角速度 7.2 $ \times 10^{-5} $ $ \mathrm{rad}/\mathrm{s} $, $ | \boldsymbol{v}_R | $ には 1.0 $ \times $ 10 $ \mathrm{m}/\mathrm{s} $, $ a $ には地球の半径 6.4 $ \times 10^6 \mathrm{km} $ を用いた. \eqref{eq:3.3} より, 地球上の局所平面において重力に対して遠心力, コリオリ力は十分に小さいことが分かる. 従って, 地球上の局所平面に垂直な方向の力の釣り合いには, 重力と釣り合う別の力が働くことが考えられる.
%

遠心力とコリオリ力の局所平面に平行な成分の大きさは $ \Omega^2 r_{\perp} \sin \theta = \Omega^2 r \cos \theta \sin \theta $, 2 $ \Omega | \boldsymbol{v}_R | \sin \theta $ である. この 2 つの力の比を取ると
%
\begin{align}
  %
  \frac{\Omega^2 r \cos \theta \sin \theta}{ 2 \Omega | \boldsymbol{v}_R | \sin \theta } %
  &= \frac{\Omega a \cos \theta}{2 | \boldsymbol{v}_R | } \notag \\
  %
  & \approx \frac{\Omega a}{ 2 | \boldsymbol{v}_R |} \notag \\
  % 
  & \approx \frac{7.2 \times 10^{-5} \times 6.4 \times 10^6}{2 \times 1.0 \times 10} \notag \\
  %
  & \approx 2.3 \times 10 \label{eq:3.4}
  %
\end{align}
%
となる. この結果より, 地球上においてコリオリ力に対しては遠心力が優位に働いていることが分かる. また, 遠心力とコリオリ力は惑星の極から離れる方向に向かって働いており, 局所平面に対し水平な方向の力の釣り合いには, 極に向かうような別の力が働いており, それは主に遠心力と釣り合っていることが考えられる.

また同様の比較を, 金星上空 60 \textrm{km} の東西風, 金星地表面付近の東西風についても行った. 計算に用いた数値, 及び計算結果は以下の表の通り. 
%
\begin{table}[h]
    \centering
    \caption{金星における力学バランスの計算に用いた値}
    \label{tab:1}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
	\hline
        {} & $ \Omega $ [$ \mathrm{rad}/\mathrm{s} $] & $| \boldsymbol{v}_R | $ [$ \mathrm{m}/\mathrm{s} $] & r [$ \mathrm{m} $] & $ | \boldsymbol{g}_{grav} | $ [$ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 $] \\
	\hline
        金星上空 60 \textrm{km} & $ 3.0 \times 10^{-7} $ & 100 & $ 6.1 \times 10^{6} $ & 8.7 \\
	\hline
	金星地表面付近 & $ 3.0 \times 10^{-7} $ & 10 & $ 6.1 \times 10^{6} $ & 8.9 \\
	\hline
    \end{tabular}
\end{table}
%
\begin{table}[h]
    \centering
    \caption{表 \ref{tab:1} を用いた, 金星における力学バランスの計算結果}
    \label{tab:2}
    \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
	\hline
        {} & コリオリ力の垂直方向の比 & 遠心力の垂直方向の比 & 平行方向の比 \\
	\hline
        金星上空 60 \textrm{km} & $ 6.9 \times 10^{-6} $ & $ 6.3 \times 10^{8} $ & $ 9.2 \times 10^{-3} $ \\
	\hline
	金星地表面付近 & $ 6.7 \times 10^{-7} $ & $ 6.1 \times 10^{8} $ & $ 9.1 \times 10^{-2} $ \\
	\hline
    \end{tabular}
\end{table}
%
金星の場合における局所平面に対し垂直方向のバランスは, 地球と同じくニュートン引力の方が大きく働いていることが分かる. また, 局所平面に対し平行方向にはコリオリ力の方が強く働いていることが分かる. また, 金星では自転方向, 東西風の方向が地球とは反対方向になるため, コリオリ力の局所平面に対し平行な方向の成分は極から離れる方向に働く. これにより, 遠心力, コリオリ力以外に働く力は局所平面に対して平行方向では極向きに働いており, 主にコリオリ力と釣り合っていることが分かる. 上空と地表面付近の比をみると, ニュートン引力の差と比較して, コリオリ力の垂直方向の比が大きいことと, 遠心力の垂直方向の比はあまり変わっていないことが分かる. また平行方向の比は上空の方が小さくなっている. これらのことから, 上空ではコリオリ力がより強くなっていることが分かる. なお, これはコリオリ力の大きさが $ \Omega | \boldsymbol{v}_R | $ であることからも確かめられ, 上空であるほど東西風が速くなるために, 上空でのコリオリ力が強くなることが分かる. したがって遠心力, コリオリ力以外に働く力は上空に行くほど強くなっている必要がある.

上記の別の力として, 気圧傾度力が考えられる. つまり局所平面に対し垂直方向, 平行方向ともに気圧傾度力と重力, もしくは気圧傾度力と遠心力,コリオリ力のつりあいを考える必要がある.

また地球上の中高緯度の支配的な流れは地衡流だと考えられている. 地衡流とは, 圧力勾配が存在することで発生する圧力傾度力と, 粒子の運動方向に垂直に働くコリオリ力が釣り合うことで流れの方向, 大きさが決定される流れのことである.地衡流が存在しているとき, 上記の通り, 流れの方向, 大きさを決定しているのは局所平面に対して平行方向のコリオリ力と気圧傾度力の釣り合いである. しかし,地球の形を球で近似するとき, \eqref{eq:3.8} より平行方向には遠心力のほうが強く働いており, コリオリ力と釣り合う気圧傾度力の成分よりも遠心力と釣り合う気圧傾度力の成分が大きいことになる. そのためコリオリ力と気圧傾度力のバランスが分かりづらくなってしまう.

この問題を回避するために, ジオポテンシャル $ \Phi $ について等値面を球で近似し,勾配の方向を鉛直方向と定義し, 実効重力を用いて力の釣り合いを考えることにする. このとき局所平面は等ポテンシャル面に接する形で存在し, 実効重力は局所平面に垂直に働くようになる. すなわち, 実効重力の平行方向への成分の大きさは 0 となる. そのため平行方向の力としては, コリオリ力と気圧傾度力のみが存在する形となり, 地衡流を決定する力のバランスがわかりやすくなる.

ここまでは地球での力のバランスを考え, 局所平面の鉛直方向の再定義を行ってきた. 以降の節では, 地球以外の惑星においても同様にジオポテンシャル $ \Phi $ の勾配の方向を鉛直方向と定義して計算を進めていく.
%
\section{球座標系における物質微分} %この節では, x,y,z で表されていた局所平面での物質微分を \lambda \vartheta r で表すことを目指す
%
ジオポテンシャル $ \Phi $ の勾配方向を鉛直方向と定義した球座標系を考える. 球座標系におけるある点の位置は ($ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $) によって与えられる. $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ はそれぞれ, 東方向の角度 (経度), 極方向の角度 (緯度), 惑星の中心からの距離を表す. また, ある点における局所平面において, 東西方向を $ x $, 極方向を $ y $, 局所平面に対し垂直方向を $ z $ とする局所デカルト座標を考える. これらの点と座標系の関係は図 \ref{fig:3} の通り.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig3.pdf}
  \end{center}
  \caption{ 惑星の北半球における位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ と位置ベクトルが表す点を含む局所平面, 及び球座標系と局所デカルト座標系の図. 位置ベクトルは球座標を用いて $ \boldsymbol{r} = ( \lambda ,  \vartheta , r ) $ で表される. 局所平面上では, 東西方向を $ x $, 極方向を $ y $, 局所平面に対し垂直方向を $ z $ とする局所デカルト座標が図示されている. } \label{fig:3}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
また惑星の半径を $ a $ と置くと, $ z = r - a $ の関係が得られる. また図より, $ x $ と $ \lambda $, $ y $ と $ \vartheta $, $ z $ と $ r $ 方向が一致していることが分かる.

球座標の 3 成分の微小変化量を $ \delta \lambda $, $ \delta \vartheta $, $ \delta r $, 局所デカルト座標の 3 成分の微小変化量を $ \delta x $, $ \delta y $, $ \delta z $ とする. この 2 つの系における微小変化量の関係は
%
\begin{align}
  %
  \delta x &= r \cos \vartheta \delta \lambda, \label{eq:3.5} \\
  %
  \delta y &= r \delta \vartheta, \label{eq:3.6} \\
  %
  \delta z &= \delta r \label{eq:3.7}
  %
\end{align}
%
である. また, 局所デカルト座標における任意の物理量 $ \phi $ の物質微分は, 局所デカルト座標での速度を ($ u $, $ v $, $ w $) とすると
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} %
  = \frac{\partial \phi}{\partial t} + u \frac{\partial \phi}{\partial x} + v \frac{\partial \phi}{\partial y} + w \frac{\partial \phi}{\partial z} \notag \\
  %
\end{equation}
%  
である. 第 2 項, 第 3 項, 第 4 項に連鎖律を適用し
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} %
  = \frac{\partial \phi}{\partial t} %
  + u \frac{\partial \phi}{\partial \lambda} \frac{\partial \lambda}{\partial x} %
  + v \frac{\partial \phi}{\partial \vartheta} \frac{\partial \vartheta}{\partial y} %
  + w \frac{\partial \phi}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z} \label{eq:3.8}
  %
\end{equation}
%
となる. ここで $ \lambda = \lambda ( x, y ) $, $ \vartheta = \vartheta ( x, y ) $ とする. このように書けるのは, $ r $ は $ z $ の関数であり, かつ $ \lambda $, $ \vartheta $ は $ r $ と独立であることから, $ \lambda $, $ \vartheta $ が $ z $ の関数でないと推測できるためである. また $ z = r - a $ であることから, $ r = r (z) $ と表すことができ, $ x $, $ y $ には依存しない. $ \partial \lambda / \partial x $ について
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\partial \lambda}{\partial x} %
  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\lambda (x + \Delta x, y) - \lambda (x, y)}{\Delta x} \notag
  %
\end{equation}
  %
と定義される. $ \lambda $ の変化量を $ \Delta \lambda $ とすると
  %
\begin{equation}
  %
  \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\lambda (x + \Delta x, y) - \lambda (x, y)}{\Delta x}%
  = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \lambda}{\Delta x} \notag 
  %
\end{equation}
  %
となり, $ \Delta \lambda $, $ \Delta x $ に微小増加量 $ \delta \lambda $, $ \delta x $ を代入すると
  %
\begin{align}
  %
  \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \lambda}{\Delta x} %
  &= \frac{\delta \lambda}{\delta x} \notag \\
  %
  &= \frac{\delta \lambda}{r \cos \vartheta \delta \lambda} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r \cos \vartheta} \label{eq:3.9}
  %
\end{align}
%
と表される. 同様に $ \partial \vartheta / \partial y $, $ \partial r / \partial z $ を求めると
%
\begin{align}
  %
  \frac{\partial \vartheta}{\partial y} %
  &= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\vartheta (x, y + \Delta y) - \vartheta (x, y)}{\Delta y} \notag \\
  %
  &= \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta \vartheta}{\Delta y} \notag \\
  %
  &= \frac{\delta \vartheta}{\delta y} \notag \\
  %
  &= \frac{\delta \vartheta}{r \delta \vartheta} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r} \label{eq:3.10}
  %
\end{align}
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\partial r}{\partial z} %
  = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{r (z + \Delta z) - r (z)}{\Delta z} \notag
  %
\end{equation}
  %
ここで $ z = r - a $ より
  %
\begin{align}
  %
  \lim_{\Delta z \to 0} \frac{r (z + \Delta z) - r (z)}{\Delta z}
  &= \lim_{\Delta z \to 0} \frac{(z + \Delta z + a) - (z + a)}{\Delta z} \notag \\
  %
  &= 1 \label{eq:3.11}
  %
\end{align}
%
が得られる. \eqref{eq:3.9}, \eqref{eq:3.10}, \eqref{eq:3.11} を \eqref{eq:3.8} に代入すると
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \phi}{\mathrm{D} t} %
  = \frac{\partial \phi}{\partial t} %
  + u \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \phi}{\partial \lambda} %
  + v \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \vartheta} %
  + w \frac{\partial \phi}{\partial r} \label{eq:3.12}
  %
\end{equation}
%
となる. ここで $ x $ と $ \lambda $, $ y $ と $ \lambda$, $ z $ と $ r $ 方向が一致しているため, 局所デカルト座標における速度 ($ u $, $ v $, $ w $) は球座標系における速度となる. そのため \eqref{eq:3.12} は球座標系における物質微分を表す.

ここで速度成分 $ u $, $ v $, $ w $ を $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ を用いて書き表す. まず, 東西方向の速度成分 $ u $ を求める. \eqref{eq:3.12} の 物理量 $ \phi $ に $ \lambda $ を代入し
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \lambda}{\mathrm{D} t} %
  &= \frac{\partial \lambda}{\partial t} %
  + u \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \lambda}{\partial \lambda} %
  + v \frac{1}{r} \frac{\partial \lambda}{\partial \vartheta} %
  + w \frac{\partial \lambda}{\partial r} \notag \\
  %
  &= u \frac{1}{r \cos \vartheta} \notag \\
  %
  \intertext{が得られる. 両辺に $ r \cos \vartheta $ を掛けると}
  %
  u &= r \cos \vartheta \frac{\mathrm{D} \lambda}{\mathrm{D} t} \label{eq:3.13}
  %
\end{align}
%
となる. 同様に $ v $, $ w $ を求めると,
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \vartheta}{\mathrm{D} t} %
  &= \frac{\partial \vartheta}{\partial t} %
  + u \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \vartheta}{\partial \lambda} %
  + v \frac{1}{r} \frac{\partial \vartheta}{\partial \vartheta} %
  + w \frac{\partial \vartheta}{\partial r} \notag \\
  %
  &= v \frac{1}{r} \notag \\
  %
  \intertext{両辺に $ r $ を掛け}
  %
  v &= r \frac{\mathrm{D} \vartheta}{\mathrm{D} t} \label{eq:3.14}
  %
\end{align}
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} r}{\mathrm{D} t} %
  &= \frac{\partial r}{\partial t} %
  + u \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial r}{\partial \lambda} %
  + v \frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial \vartheta} %
  + w \frac{\partial r}{\partial r} \notag \\
  %
  &= w \label{eq:3.15}
  %
\end{align}
%
となる. \eqref{eq:3.13}, \eqref{eq:3.14}, \eqref{eq:3.15} より速度成分は
%
\begin{equation}
  ( u, v, w ) = \left( r \cos \vartheta \frac{\mathrm{D} \lambda}{\mathrm{D} t}, r \frac{\mathrm{D} \vartheta}{\mathrm{D} t}, \frac{\mathrm{D} r}{\mathrm{D} t} \right) \label{eq:3.16}
\end{equation}
%
である.
%
\section{球座標系における単位ベクトルの偏微分} % この節では, lambda, vartheta r が惑星の中心を原点とするデカルト座標とどう対応しているのか求める
%
この節では, 球座標系における $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ 方向の単位ベクトルの空間偏微分を求める. これは 河合 (2015) を参考に行った. 惑星の中心を原点とし, $ \lambda = 0 $, $ \vartheta = 0 $ の方向を $ x $ 方向, $ \lambda = \pi / 2 $, $ \vartheta = 0 $ の方向を $ y $ 方向, 回転軸方向を $ z $ 方向とするデカルト座標系を考える. ここで扱うデカルト座標系は前節において考えた局所デカルト座標系とは異なる.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig4.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    惑星の北半球における位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ と位置ベクトルが表す点を含む局所平面, 及び球座標系と惑星の原点を中心とするデカルト座標系の図. 位置ベクトルは球座標を用いて $ \boldsymbol{r} = ( \lambda ,  \vartheta , r ) $ で表される. デカルト座標は $ \lambda = 0 $, $ \vartheta = 0 $ を $ x $, $ \lambda = \pi / 2 $, $ \vartheta = 0 $ を $ y $, 回転軸方向を $ z $ と設定した.
    } \label{fig:4}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
球座標系 ($ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $) とデカルト座標系 ($x$, $y$, $z$) の間の関係は
%
\begin{align}
  %
  x = r \cos \vartheta \cos \lambda \label{eq:3.17}\\
  %
  y = r \cos \vartheta \sin \lambda \label{eq:3.18}\\
  %
  z = r \sin \vartheta \label{eq:3.19}
  %
\end{align}
%
である. 球座標系における規格化されていない基底 {$ \boldsymbol{e}_{\lambda}$, $ \boldsymbol{e}_{\vartheta}$, $ \boldsymbol{e}_{r} $} は, 位置ベクトル $ \boldsymbol{r} = \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} + \boldsymbol{z} $ の $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ の偏微分で得られるため
%
\begin{align}
  %
  \begin{pmatrix}
    \boldsymbol{e}_{\lambda} \\
    \boldsymbol{e}_{\vartheta} \\
    \boldsymbol{e}_{r}
  \end{pmatrix} %
  & \equiv \begin{pmatrix}
    \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \lambda} \\
    \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \vartheta} \\
    \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r}
  \end{pmatrix} \notag \\
  %
  &= \begin{pmatrix}
    \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \lambda} + \frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial \lambda} + \frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \lambda} \\
    \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \vartheta} + \frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial \vartheta} + \frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \vartheta} \\
    \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial r} + \frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial r} + \frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial r}
  \end{pmatrix} \notag
  %
\end{align}
%
となる. デカルト座標系の基底 {$ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{e}_z $} を用いて表すと, $ \boldsymbol{x} = x \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{y} = y \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{z} = z \boldsymbol{e}_z $ より
  %
\begin{align}
  %
  \begin{pmatrix}
    \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \lambda} + \frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial \lambda} + \frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \lambda} \\
    \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \vartheta} + \frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial \vartheta} + \frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \vartheta} \\
    \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial r} + \frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial r} + \frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial r}
  \end{pmatrix}
  &= \begin{pmatrix}
    \frac{\partial x}{\partial \lambda} & \frac{\partial y}{\partial \lambda} & \frac{\partial z}{\partial \lambda} \\
    \frac{\partial x}{\partial \vartheta} & \frac{\partial y}{\partial \vartheta} & \frac{\partial z}{\partial \vartheta} \\
    \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r}
  \end{pmatrix} %
  \cdot %
  \begin{pmatrix}
    \boldsymbol{e}_{x} \\
    \boldsymbol{e}_{y} \\
    \boldsymbol{e}_{z}
  \end{pmatrix} \notag \\
  %
  &= \begin{pmatrix}
   -r \cos \vartheta \sin \lambda & r \cos \vartheta \cos \lambda & 0 \\
    -r \sin \vartheta \cos \lambda & -r \sin \vartheta \sin \lambda & r \cos \vartheta \\
    \cos \vartheta \cos \lambda & \cos \vartheta \sin \lambda & \sin \vartheta
  \end{pmatrix} %
  \cdot %
  \begin{pmatrix}
   \boldsymbol{e}_{x} \\
   \boldsymbol{e}_{y} \\
    \boldsymbol{e}_{z}
  \end{pmatrix} \notag \\
  %
 &= \begin{pmatrix}
    -r \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_x + r \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_y \\
    -r \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x - r \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + r \cos \vartheta \boldsymbol{e}_z \\
    \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \sin \vartheta \boldsymbol{e}_z
  \end{pmatrix} \label{eq:3.20}
  %
\end{align}
%
である. それぞれの基底の大きさは
%
\begin{align}
  %
  | \boldsymbol{e}_{\lambda} | %
  &= \sqrt{( -r \cos \vartheta \sin \lambda )^2 + (r \cos \vartheta \cos \lambda)^2 } \notag \\
  %
  &= \sqrt{ r^2 \cos^2 \vartheta \sin^2 \lambda + r^2 \cos^2 \vartheta \cos^2 \lambda } \notag \\
  %
  &= \sqrt{ r^2 \cos^2 \vartheta} \notag \\
  %
  &= r \cos \vartheta \label{eq:3.21} \\
  %
  \notag \\
  %
  | \boldsymbol{e}_{\vartheta} | %
  &= \sqrt{ (-r \sin \vartheta \cos \lambda)^2 + (-r \sin \vartheta \sin \lambda)^2 + (r \cos \vartheta)^2 } \notag \\
  %
  &= \sqrt{ r^2 \sin^2 \vartheta \cos^2 \lambda + r^2 \sin^2 \vartheta \sin^2 \lambda + r^2 \cos^2 \vartheta } \notag \\
  %
  &= \sqrt{ r^2 } \notag \\
  %
  &= r \label{eq:3.22} \\
  %
  \notag \\
  %
  | \boldsymbol{e}_r | %
  &= \sqrt{ (\cos \vartheta \cos \lambda)^2 + (\cos \vartheta \sin \lambda)^2 + (\sin \vartheta)^2} \notag \\
  %
  &=\sqrt{ \cos^2 \vartheta \cos^2 \lambda + \cos^2 \vartheta \sin^2 \lambda + \sin^2 \vartheta } \notag \\
  %
  &= 1 \label{eq:3.23}
  %
\end{align}
%
となる. \eqref{eq:3.21}, \eqref{eq:3.22}, \eqref{eq:3.23} を用いて \eqref{eq:3.20} の規格化を行ったベクトルを ($\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{j}$, $\boldsymbol{k}$) とすると
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{i} %
  &= \frac{1}{| \boldsymbol{e}_{\lambda} |} \boldsymbol{e}_{\lambda} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r \cos \vartheta} ( -r \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_x + r \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_y ) \notag \\
  %
  &= - \sin \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos \lambda \boldsymbol{e}_y \label{eq:3.24} \\
  %
  \notag \\
  %
  \boldsymbol{j} %
  &= \frac{1}{| \boldsymbol{e}_{\vartheta} |} \boldsymbol{e}_{\vartheta} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r} (-r \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x - r \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + r \cos \vartheta \boldsymbol{e}_z) \notag \\
  %
  &= - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x  - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \cos \vartheta \boldsymbol{e}_z \label{eq:3.25} \\
  %
  \notag \\
  %
  \boldsymbol{k} %
  &= \frac{1}{| \boldsymbol{e}_{r} |}(\cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \sin \vartheta \boldsymbol{e}_z) \notag \\
  %
  &= \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \sin \vartheta \boldsymbol{e}_z \label{eq:3.26}
  %
\end{align}
%
と表せる. これらを球座標系の単位ベクトルと呼ぶ.

ここで, デカルト座標の基底 {$ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{e}_z $} を球座標系の単位ベクトルを使って書き表す. まず $ \boldsymbol{e}_x $ を導出する. \eqref{eq:3.24} と $ - \sin \lambda $, \eqref{eq:3.25} と $ \sin \vartheta \cos \lambda $, \eqref{eq:3.26} と $ \cos \lambda \cos \vartheta $ の積をとり, 
%
\begin{align}
  %
  - \sin \lambda \boldsymbol{i} %
  &= \sin^2 \lambda \boldsymbol{e}_x %
  - \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{e}_y \notag \\
  %
  \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} %
  &= \sin^2 \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x %
  + \sin^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{e}_y %
  - \sin \vartheta \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_z \notag \\
  %
  \cos \lambda \cos \vartheta \boldsymbol{k} %
  &= \cos^2 \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{e}_x %
  + \cos^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{e}_y %
  + \cos \vartheta \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_z \notag
  %
\end{align}
%
となる. これらを足し合わせると,
%
\begin{align}
  %
   {} & - \sin \lambda \boldsymbol{i} + \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos \lambda \cos \vartheta \boldsymbol{k}\notag \\
  %
  \begin{split}
    {} & \qquad = ( \sin^2 \lambda + \sin^2 \vartheta \cos^2 \lambda + \cos^2 \vartheta \cos^2 \lambda ) \boldsymbol{e}_x \\
    & \qquad \quad + ( - \sin \lambda \cos \lambda + \sin^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda + \cos^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda ) \boldsymbol{e}_y \\
    & \qquad \quad + ( - \sin \vartheta \cos \vartheta \cos \lambda + \cos \vartheta \sin \vartheta \cos \lambda) \boldsymbol{e}_z
  \end{split} \notag \\
  %
  & \qquad = \boldsymbol{e}_x \label{eq:3.27}
  %
\end{align}
%
となり $ \boldsymbol{e}_x $ が得られる. 次に $ \boldsymbol{e}_y $ を導出する. \eqref{eq:3.24} と $ \cos \lambda $, \eqref{eq:3.25} と $ - \sin \vartheta \sin \lambda $, \eqref{eq:3.26} と $ \cos \vartheta \sin \lambda $ の積をとると 
%
\begin{align}
  %
  \cos \lambda \boldsymbol{i} &= %
  - \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos^2 \lambda \boldsymbol{e}_y \notag \\
  %
  - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} &= %
  \sin^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{e}_x + \sin^2 \vartheta \sin^2 \lambda \boldsymbol{e}_y - \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_z \notag \\
  %
  \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} &= %
  \cos^2 \vartheta \cos \lambda \sin \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos^2 \vartheta \sin^2 \lambda \boldsymbol{e}_y + \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_z \notag
  %
\end{align}
%
となる. これらを足し合わせると
%
\begin{align}
  %
   {} & \cos \vartheta \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} \notag \\
  %
  \begin{split}
    {} & \qquad = ( - \sin \lambda \cos \lambda + \sin^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda + \cos^2 \vartheta \cos \lambda \sin \lambda ) \boldsymbol{e}_x \\
    & \qquad \quad + ( \cos^2 \lambda + \sin^2 \vartheta \sin^2 \lambda + \cos^2 \vartheta \sin^2 \lambda ) \boldsymbol{e}_y \\
    & \qquad \quad + ( - \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda + \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda ) \boldsymbol{e}_z
  \end{split} \notag \\
  %
  & \qquad = \boldsymbol{e}_y \label{eq:3.28}
  %
\end{align}
%
となり $ \boldsymbol{e}_y $ が得られる. 最後に $ \boldsymbol{e}_z $ を導出する. \eqref{eq:3.25} と $ \cos \vartheta $, \eqref{eq:3.26} と $ \sin \vartheta $ の積をとると
%
\begin{align}
  %
  \cos \vartheta \boldsymbol{j} &= - \sin \vartheta \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x - \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \cos^2 \vartheta \boldsymbol{e}_z \notag \\
  %
  \sin \vartheta \boldsymbol{k} &= \sin \vartheta \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x + \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \sin^2 \vartheta \boldsymbol{e}_z \notag
  %
\end{align}
%
となる. これらを足し合わせると
%
\begin{align}
  %
   {} & \cos \vartheta \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \boldsymbol{k} \notag \\
  %
  \begin{split}
    {} & \qquad = ( - \sin \vartheta \cos \vartheta \cos \lambda + sin \vartheta \cos \vartheta \cos \lambda ) \boldsymbol{e}_x \\
    & \qquad \quad + ( - \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda + \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda ) \boldsymbol{e}_y \\
    & \qquad \quad + ( \cos^2 \vartheta + \sin^2 \vartheta ) \boldsymbol{e}_z
  \end{split} \notag \\
  %
  & \qquad = \boldsymbol{e}_z \label{eq:3.29}
  %
\end{align}
%
となり $ \boldsymbol{e}_z $ が得られる. \eqref{eq:3.27}, \eqref{eq:3.28}, \eqref{eq:3.29} を改めて以下に記述すると
%
\begin{align*}
  %
  \boldsymbol{e}_x  %
  &= - \sin \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k} \tag{3.27}\\
  %
  \boldsymbol{e}_y %
  &= \cos \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} \tag{3.28}\\
  %
  \boldsymbol{e}_z %
  &= \cos \vartheta \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \boldsymbol{k} \tag{3.29}
  %
\end{align*}
%
となり, デカルト座標系の基底と球座標の単位ベクトルの関係が得られる.

ここで, 球座標における演算子 $ \nabla $ を求めるため, $ \boldsymbol{i} $, $ \boldsymbol{j} $, $ \boldsymbol{k} $ の $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ の偏微分をそれぞれ計算する. 球座標の単位ベクトルの式を再掲すると
%
\begin{align*}
  %
  \boldsymbol{i} %
  &= - \sin \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos \lambda \boldsymbol{e}_y \tag{2.32} \\
  %
  \boldsymbol{j} %
  &= - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x  - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \cos \vartheta \boldsymbol{e}_z \tag{2.33} \\
  %
  \boldsymbol{k} %
  &= \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \sin \vartheta \boldsymbol{e}_z \tag{2.34}
%
\end{align*}
%
である. まず $ \boldsymbol{i} $ の $ \lambda $ の偏微分を求める. 
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} %
  = - \cos \lambda \boldsymbol{e}_x - \sin \lambda \boldsymbol{e}_y .
  %
\end{equation*}
%  
デカルト座標系の基底と球座標の単位ベクトルの関係を用いて $ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $ を消去すると
  %
\begin{align}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} %
  %
  & = -\cos \lambda (- \sin \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k}) \notag \\
  & \quad - \sin \lambda ( \cos \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} ) \notag \\
  %
  \begin{split}
    & = \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{i} + \sin \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{j} - \cos \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{k} \\
    & \quad - \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{i} + \sin \vartheta \sin^2 \lambda \boldsymbol{j} - \cos \vartheta \sin^2 \lambda \boldsymbol{k}
  \end{split} \notag \\
  %
  & = \sin \vartheta \boldsymbol{j} - \cos \vartheta \boldsymbol{k} \label{eq:3.30}
  %
\end{align}
%
となり, $ \boldsymbol{i} $ の $ \lambda $ の偏微分を求めることができた. 次に $ \boldsymbol{i} $ の $ \vartheta $ の偏微分, $ r $ の偏微分を求めるが, $ \boldsymbol{i} $ は $ \vartheta $, $ r $ に依存しないため,
  %
  \begin{align}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \vartheta} &= 0 \label{eq:3.31} \\
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial r} &= 0 \label{eq:3.32}
  %
\end{align}
%
である.

次に $ \boldsymbol{j} $ の $ \lambda $ の偏微分を求める. 
  %
  \begin{equation*}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} %
  = \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_x - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_y .
  %
\end{equation*}
  %
デカルト座標系の基底と球座標の単位ベクトルの関係を用いて $ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $ を消去すると
  %
  \begin{align}
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} %
    %
    & = \sin \vartheta \sin \lambda ( - \sin \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k} ) \notag \\
    & \quad - \sin \vartheta \cos \lambda ( \cos \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} )  \notag \\
  %
  \begin{split}
    & = - \sin \vartheta \sin^2 \lambda \boldsymbol{i} - \sin^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \sin \lambda \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k} \\
    & \quad - \sin \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{i} + \sin^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{j} - \sin \vartheta \sin \lambda \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k}
  \end{split} \notag \\
  %
  & = -\sin \vartheta \boldsymbol{i} \label{eq:3.33}
  %
\end{align}
  %
となり, $ \boldsymbol{j} $ の $ \lambda $ の偏微分を求めることができた. 続いて, $ \boldsymbol{j} $ の $ \vartheta $ の偏微分を求める.
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} %
  = - \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x - \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y - \sin \vartheta \boldsymbol{e}_z .
  %
\end{equation*}
  %
デカルト座標系の基底と球座標の単位ベクトルの関係を用いて $ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{e}_z $ を消去すると
  %
\begin{align}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} %
  %
  & = - \cos \vartheta \cos \lambda ( - \sin \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k} ) \notag \\
    & \quad - \cos \vartheta \sin \lambda ( \cos \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} ) \notag \\
    & \quad - \sin \vartheta ( \cos \vartheta \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \boldsymbol{k} ) \notag \\
  %
  \begin{split}
    & = \cos \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{i} + \sin \vartheta \cos \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{j} - \cos^2 \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{k} \\
    & \quad - \cos \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{i} + \sin \vartheta \sin^2 \lambda \cos \vartheta \boldsymbol{j} - \cos^2 \vartheta \sin^2 \lambda \boldsymbol{k} \\
    & \quad - \sin \vartheta \cos \vartheta \boldsymbol{j} - \sin^2 \vartheta \boldsymbol{k}
  \end{split} \notag \\
  %
  & = \sin \vartheta \cos \vartheta \boldsymbol{j} - \cos^2 \vartheta \boldsymbol{k} - \sin \vartheta \cos \vartheta \boldsymbol{j} - \sin^2 \vartheta \boldsymbol{k} \notag \\
  %
  & = - \boldsymbol{k} \label{eq:3.34}
  %
\end{align}
%
となり, $ \boldsymbol{j} $ の $ \vartheta $ の偏微分を求めることができた. 続いて $ \boldsymbol{j} $ の $ r $ の偏微分を求めるが, $ \boldsymbol{j} $ は $ r $ に依存しないため,
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial r} = 0 \label{eq:3.35}
  %
\end{equation}
  %
である.

次に $ \boldsymbol{k} $ の $ \lambda $ の偏微分を求める
%
\begin{equation*}
%
  \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} %
  = - \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_x + \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_y .
  %
\end{equation*}
%
デカルト座標系の基底と球座標の単位ベクトルの関係を用いて $ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $ を消去すると
  %
\begin{align}
  %
 \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} %
  %
    & = - \cos \vartheta \sin \lambda ( - \sin \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k} ) \notag \\
    & \quad + \cos \vartheta \cos \lambda ( \cos \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} ) \notag \\
  %
  \begin{split}
    & = \cos \vartheta \sin^2 \lambda \boldsymbol{i} + \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{j} - \cos^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{k} \\
    & \quad + \cos \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \cos \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos^2 \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{k}
  \end{split} \notag \\
  %
  & = \cos \vartheta \boldsymbol{i} \label{eq:3.36}
  %
\end{align}
  %
となり, $ \boldsymbol{k} $ の $ \lambda $ の偏微分を求めることができた. 続いて, $ \boldsymbol{k} $ の $ \vartheta $ の偏微分を求める.
  %
\begin{equation*}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} %
  = - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{e}_x - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{e}_y + \cos \vartheta \boldsymbol{e}_z .
  %
\end{equation*}
  %
デカルト座標系の基底と球座標の単位ベクトルの関係を用いて $ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{e}_z $ を消去すると
  %
  \begin{align}
  %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} %
    %
    & = - \sin \vartheta \cos \lambda ( - \sin \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{k} ) \notag \\
    %
    \begin{split}
      %
    & \quad - \sin \vartheta \sin \lambda ( \cos \lambda \boldsymbol{i} - \sin \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{j} + \cos \vartheta \sin \lambda \boldsymbol{k} ) \\
    & \quad + \cos \vartheta ( \cos \vartheta \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \boldsymbol{k} )
  \end{split} \notag \\
  %
  \begin{split}
    & = \sin \vartheta \sin \lambda \cos \lambda \boldsymbol{i} + \sin^2 \vartheta \cos \lambda \boldsymbol{j} - \sin \vartheta \cos \vartheta \cos^2 \lambda \boldsymbol{k} \\
    & \quad - \sin \vartheta \sin \lambda \cos \lambda
  \end{split} \notag \\
  %
  & = \sin^2 \vartheta \boldsymbol{j} + \cos^2 \vartheta \boldsymbol{j} \notag \\
  %
  & = \boldsymbol{j} \label{eq:3.37}
  %
\end{align}
%
となり, $ \boldsymbol{k} $ の $ \vartheta $ の偏微分を求めることができた. 続いて $ \boldsymbol{k} $ の $ r $ の偏微分を求めるが, $ \boldsymbol{k} $ は $ r $ に依存しないため,
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial r} = 0 \label{eq:3.38}
  %
\end{equation}
%
である.
%
\subsection{球座標系における勾配演算子}
%
局所平面上における位置ベクトルの微小変化量 $ \Delta \boldsymbol{r} $ は, 局所デカルト座標の微小変化量 ($ r \cos \vartheta \Delta \lambda $, $ r \Delta \vartheta $, $ \Delta r $) と球座標系における単位ベクトル $ \boldsymbol{i} $, $ \boldsymbol{j} $, $ \boldsymbol{k} $ を用いて
%
\begin{equation*}
  %
  \Delta \boldsymbol{r} %
  = r \cos \vartheta \Delta \lambda \boldsymbol{i} + r \Delta \vartheta \boldsymbol{j} + \Delta r \boldsymbol{k}　
  %
\end{equation*}
%
と表される. 球座標系における単位ベクトルを用いたのは, 局所デカルト座標での ($ x $, $ y $, $ z $) と球座標系の ($ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $) と方向が一致しているためである. 

ここで任意のスカラー場 $ \phi = \phi(\lambda, \vartheta, r) $ の勾配を考える. まず $ \phi $ の勾配の $ \lambda $ 成分, すなわち位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ が $ \lambda $ 方向のみに変化する場合の $ \phi $ の変化率を考える. $ \phi $ の勾配の $ \lambda $ 成分を $ (\nabla \phi)_{\lambda} $ と書くと
%
\begin{align}
  %
  (\nabla \phi)_{\lambda} %
  &= \left( \lim_{\Delta \boldsymbol{r} \to 0} \frac{\phi(\boldsymbol{r} +\Delta \boldsymbol{r}) - \phi(\boldsymbol{r})}{\Delta \boldsymbol{r}} \right)_{\vartheta, r} \notag \\
  %
  &= \lim_{\Delta \lambda \to 0} \frac{\phi(\lambda + \Delta \lambda, \vartheta, r) - \phi(\lambda, \vartheta, r)}{r \cos \vartheta \Delta \lambda} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r \cos \vartheta} \lim_{\Delta \lambda \to 0} \frac{\phi(\lambda + \Delta \lambda, \vartheta, r) - \phi(\lambda, \vartheta, r)}{\Delta \lambda} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \phi}{\partial \lambda} \label{eq:3.39}
  %
\end{align}
%
と書けることが分かる. 続いて $ \phi $ の勾配の $ \vartheta $ 成分, すなわち $ d \boldsymbol{r} $ が $ \vartheta $ 方向のみに変化する場合の $ \phi $ の変化率を考えると
%
\begin{align}
  %
  (\nabla \phi)_{\vartheta} %
  &= \left( \lim_{\Delta \boldsymbol{r} \to 0} \frac{\phi(\boldsymbol{r} +\Delta \boldsymbol{r}) - \phi(\boldsymbol{r})}{\Delta \boldsymbol{r}} \right)_{\lambda, r} \notag \\
  %
  &= \lim_{\Delta \vartheta \to 0} \frac{\phi(\lambda, \vartheta + \Delta \vartheta, r) - \phi(\lambda, \vartheta, r)}{r \Delta \vartheta} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r} \lim_{\Delta \vartheta \to 0} \frac{\phi(\lambda, \vartheta + \Delta \vartheta, r) - \phi(\lambda, \vartheta, r)}{\Delta \vartheta} \notag \\
  %
  &= \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \vartheta} \label{eq:3.40}
  %
\end{align}
%
となる. 最後に $ \phi $ の勾配の $ r $ 成分, すなわち $ d \boldsymbol{r} $ が $ r $ 方向のみに変化する場合の $ \phi $ の変化率を考えると
%
\begin{align}
  %
  (\nabla \phi)_r %
  %
  &= \left( \lim_{\Delta \boldsymbol{r} \to 0} \frac{\phi(\boldsymbol{r} +\Delta \boldsymbol{r}) - \phi(\boldsymbol{r})}{\Delta \boldsymbol{r}} \right)_{\lambda, \vartheta} \notag \\
  %
  &= \lim_{\Delta r \to 0} \frac{\phi(\lambda, \vartheta, r + \Delta r) - \phi(\lambda, \vartheta, r)}{\Delta r} \notag \\
  %
  &= \frac{\partial \phi}{\partial r} \label{eq:3.41}
  %
\end{align}
%
となる. \eqref{eq:3.39}, \eqref{eq:3.40}, \eqref{eq:3.41} をまとめると
%
\begin{align}
  %
  \nabla \phi %
  &= (\nabla \phi)_{\lambda} \boldsymbol{i} + (\nabla \phi)_{\vartheta} \boldsymbol{j} + (\nabla \phi)_r \boldsymbol{k} \notag \\
  %
  &= \boldsymbol{i} \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \phi}{\partial \lambda} %
  + \boldsymbol{j} \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \vartheta} %
  + \boldsymbol{k} \frac{\partial \phi}{\partial r} \label{eq:3.42}
  %
\end{align}
%
となり, 球座標系における勾配演算子が求められる. さらに演算子 $ \nabla $ は
%
\begin{equation}
  %
  \nabla %
  = \boldsymbol{i} \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial}{\partial \lambda} %
  + \boldsymbol{j} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \vartheta} %
  + \boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial r} \label{eq:3.43}
%
\end{equation}
%
と求められる.
%
\subsection{球座標系における発散演算子}
%
\eqref{eq:3.43} を用いて, 任意のベクトル $ \boldsymbol{A} = A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k} $ の発散 $ \nabla \cdot \boldsymbol{A} $ を求める. ここで $ A^{\lambda} $ は $ \boldsymbol{A} $ の $ \lambda $ 成分, $ A^{\vartheta} $ は $ \boldsymbol{A} $ の $ \vartheta $ 成分, $ A^{r} $ は $ \boldsymbol{A} $ の $ r $ 成分である.
%
\begin{align}
  %
  \nabla \cdot \boldsymbol{A} %
  = {} & \left( \boldsymbol{i} \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial}{\partial \lambda} + \boldsymbol{j} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \vartheta} + \boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial r} \right) %
  \cdot %
  ( A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k}) \notag \\
  %
  \begin{split}
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \cdot \frac{\partial}{\partial \lambda}(A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k}) \right] \\
    & \quad + \frac{1}{\vartheta} \left[ \boldsymbol{j} \cdot \frac{\partial}{\partial \vartheta}(A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k}) \right] %
    + \left[ \boldsymbol{k} \cdot \frac{\partial}{\partial r}(A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k})\right].
  \end{split} \notag \\
  %
  \begin{split}
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \cdot \left( A^{\lambda} \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} + A^{\vartheta} \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} + A^r \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} \right) + \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \lambda} \right] \\
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \cdot \left( A^{\lambda} \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \vartheta} + A^{\vartheta} \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} + A^r \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} \right) + \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] \\
    & \qquad + \left[ \boldsymbol{k} \cdot \left( A^{\lambda} \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial r} + A^{\vartheta} \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial r} + A^r \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial r} \right) + \frac{\partial A^{r}}{\partial r} \right].
  \end{split} \label{eq:3.44}
\end{align}
  %
ここからは単位ベクトルの偏微分を代入して \eqref{eq:3.44} の変形を進めていく. まず第 1 項に \eqref{eq:3.30}, \eqref{eq:3.31}, \eqref{eq:3.32} を代入して
%
\begin{align}
  %
  {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \cdot \left( A^{\lambda} \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} + A^{\vartheta} \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} + A^r \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} \right) + \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \lambda} \right] \notag \\
  %
  {} & \quad = \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \cdot { A^{\lambda} (\sin \vartheta \boldsymbol{j} - \cos \vartheta \boldsymbol{k}) + A^{\vartheta} (- \sin \vartheta \boldsymbol{i}) + A^r (\cos \vartheta \boldsymbol{i}) } + \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \lambda} \right] \notag \\
  %
  {} & \quad = \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ - \sin \vartheta A^{\vartheta} + \cos \vartheta A^r + \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \lambda} \right] \label{eq:3.45}
  %
\end{align}
%
となる. 続いて第 2 項に \eqref{eq:3.33}, \eqref{eq:3.34}, \eqref{eq:3.35} を代入して
%
\begin{align}
  %
  {} & \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \cdot \left( A^{\lambda} \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \vartheta} + A^{\vartheta} \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} + A^r \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} \right) + \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] \notag \\
  %
  {} & \quad = \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \cdot { A^{\vartheta} (- \boldsymbol{k}) + A^r (\boldsymbol{j}) } + \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] \notag \\
  %
  {} & \quad = \frac{1}{r} \left[ A^r + \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] \label{eq:3.46}
  %
\end{align}
%
となる. 最後に第 3 項に \eqref{eq:3.36}, \eqref{eq:3.37}, \eqref{eq:3.38} を代入して
%
\begin{align}
  %
  {} & \left[ \boldsymbol{k} \cdot \left( A^{\lambda} \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial r} + A^{\vartheta} \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial r} + A^r \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial r} \right) + \frac{\partial A^r}{\partial r} \right] \notag \\
  %
  {} & \quad = \left[ \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] \label{eq:3.47}
  %
\end{align}
%
となる. \eqref{eq:3.45}, \eqref{eq:3.46}, \eqref{eq:3.47} を \eqref{eq:3.44} に代入して
%
\begin{align}
  %
  \nabla \cdot \boldsymbol{A} %
  = & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ - \sin \vartheta A^{\vartheta} + \cos \vartheta A^r + \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \lambda} \right] %
  + \frac{1}{r} \left[ A^r + \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] + \left[ \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] \notag \\
  %
  \begin{split}
  = & \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left[ - r \sin \vartheta A^{\vartheta} + r \cos \vartheta A^r + r \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \lambda} \right] \\
  & \quad + \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left[ \cos^2 \vartheta A^r + \cos^2 \vartheta \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right] %
  + \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left[ r^2 \cos \vartheta \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} \right]
  \end{split} \notag \\
  %
  = & \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left[ \frac{\partial}{\partial \lambda}(r A^{\lambda}) + \frac{\partial}{\partial \vartheta}(r A^{\vartheta} \cos \vartheta) %
  + \frac{\partial}{\partial r}(r^2 \cos \vartheta A^{\vartheta}) \right]\label{eq:3.48}
  %
\end{align}
%
と変形できた.したがって, 球座標系における発散演算子 \eqref{eq:3.48} が得られる.
%
\subsection{球座標系における回転演算子}
%
\eqref{eq:3.43} を用いて, 任意のベクトル $ \boldsymbol{A} = A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k} $ の回転 $ \nabla \times \boldsymbol{A} $ を求める.
%
\begin{align}
  %
  \nabla \times \boldsymbol{A}
  %
  = {} & \left( \boldsymbol{i} \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial}{\partial \lambda} + \boldsymbol{j} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \vartheta} + \boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial r} \right) %
  \times %
  ( A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k}) \notag \\
  %
  \begin{split}
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \frac{\partial}{\partial \lambda} \times (A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k}) \right] \\
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \frac{\partial}{\partial \vartheta} \times (A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k}) \right] %
    + \left[ \boldsymbol{k} \frac{\partial}{\partial r} \times (A^{\lambda} \boldsymbol{i} + A^{\vartheta} \boldsymbol{j} + A^r \boldsymbol{k}) \right]
    %
  \end{split} \notag \\
  %
  \begin{split}
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} A^{\lambda} + \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \lambda} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} A^{\vartheta} + \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} A^r + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^r}{\partial \lambda} \right)\right] \\
    %
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \vartheta} A^{\lambda} + \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} A^{\vartheta} + \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \vartheta} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} A^r + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^r}{\partial \vartheta} \right)\right] \\
    %
    & \quad + \left[ \boldsymbol{k} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial r} A^{\lambda} + \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial r} A^{\vartheta} + \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial r} A^r + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^r}{\partial r} \right)\right] .
    %
  \end{split} \notag
  %
\end{align}
%
ここで $ \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{k} = 0 $ を用いて,
%
\begin{equation}
  %
  \begin{split}
    %
    \nabla \times \boldsymbol{A} %
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} A^{\lambda} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} A^{\vartheta} + \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} A^r + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^r}{\partial \lambda} \right)\right] \\
    %
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \vartheta} A^{\lambda} + \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} A^{\vartheta} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} A^r + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^r}{\partial \vartheta} \right)\right] \\
    %
    & \quad + \left[ \boldsymbol{k} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial r} A^{\lambda} + \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial r} A^{\vartheta} + \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial r} A^r \right)\right]
    %
  \end{split} \notag
  %
\end{equation}
%
と変形できる. また単位ベクトルの偏微分の結果を用い, \eqref{eq:3.31}, \eqref{eq:3.32}, \eqref{eq:3.35}, \eqref{eq:3.38} より
%
\begin{equation}
  %
  \begin{split}
    %
    \nabla \times \boldsymbol{A} %
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} A^{\lambda} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} A^{\vartheta} + \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} A^r + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^r}{\partial \lambda} \right)\right] \\
    %
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \times \left( %
    \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} A^{\vartheta} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} A^r + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^r}{\partial \vartheta} \right)\right] \\
    %
    & \quad + \left[ \boldsymbol{k} \times \left( %
    \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} + %
    \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} %
    \right)\right]
    %
  \end{split} \notag
%
\end{equation}
%
である. さらに単位ベクトル $ \boldsymbol{i} $, $ \boldsymbol{j} $, $ \boldsymbol{k} $ はそれぞれ直行しているため, $ \boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j} = \boldsymbol{k} $, $ \boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k} = \boldsymbol{i} $, $ \boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i} = \boldsymbol{j} $ の関係を用いると
\begin{equation}
 %
  \begin{split}
   %
   \nabla \times \boldsymbol{A} %
   %
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{i}}{\partial \lambda} A^{\lambda} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \lambda} A^{\vartheta}  + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \lambda} A^r \right)
    + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} %
    - \boldsymbol{j} \frac{\partial A^r}{\partial \lambda} \right] \\
    %
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \times \left( %
    \frac{\partial \boldsymbol{j}}{\partial \vartheta} A^{\vartheta} + %
    \frac{\partial \boldsymbol{k}}{\partial \vartheta} A^r \right) %
    - \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} + %
    \boldsymbol{i} \frac{\partial A^r}{\partial \vartheta} \right]
    %
    + \left[ %
    \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} %
    - \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} %
    \right]
    %
  \end{split} \notag
%
\end{equation}
%
である. この式に単位ベクトルの偏微分の残りの式を代入すると
%
\begin{align}
%
  \begin{split}
  %
  \nabla \times \boldsymbol{A} %
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ \boldsymbol{i} \times \left( %
    (\sin \vartheta \boldsymbol{j} - \cos \vartheta \boldsymbol{k}) A^{\lambda} + %
    -\sin \vartheta \boldsymbol{i} A^{\vartheta}  + %
    \cos \vartheta \boldsymbol{i} A^r \right)
    + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} %
    - \boldsymbol{j} \frac{\partial A^r}{\partial \lambda} \right] \\
    %
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ \boldsymbol{j} \times \left( %
    - \boldsymbol{k} A^{\vartheta} + %
    \boldsymbol{j} A^r \right) %
    - \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} + %
    \boldsymbol{i} \frac{\partial A^r}{\partial \vartheta} \right] \\
    %
    & \quad + \left[ %
    \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} %
    - \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} %
    \right]
    %
  \end{split} \notag \\
  %
  \begin{split}
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ %
      \boldsymbol{i} \times \left( %
    (\sin \vartheta \boldsymbol{j} - \cos \vartheta \boldsymbol{k}) A^{\lambda}%
    \right)
    + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} %
    - \boldsymbol{j} \frac{\partial A^r}{\partial \lambda} %
    \right] \\
    %
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ %
      \boldsymbol{j} \times \left( %
      - \boldsymbol{k} A^{\vartheta} %
      \right) %
      - \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} %
      + \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} %
      \right] %
    %
    + \left[ %
    \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} %
    - \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} %
    \right]
%    %
  \end{split} \notag \\
  %
  \begin{split}
    %
    = {} & \frac{1}{r \cos \vartheta} \left[ %
    (\sin \vartheta \boldsymbol{k} + \cos \vartheta \boldsymbol{j}) A^{\lambda}% %
    + \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} %
    - \boldsymbol{j} \frac{\partial A^r}{\partial \lambda} \right] \\
    %
    & \quad + \frac{1}{r} \left[ %
    - \boldsymbol{i} A^{\vartheta} %
    - \boldsymbol{k} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} + %
   \boldsymbol{i} \frac{\partial A^r}{\partial \vartheta} \right] %
    %
    + \left[ %
   \boldsymbol{j} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} %
   - \boldsymbol{i} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} %
   \right]
    %
  \end{split} \notag
%
\end{align}
%
である. これを整理すると,
%
\begin{align}
  %
  \nabla \times \boldsymbol{A} %
  %
  = {} & \boldsymbol{i} \left( - \frac{A^{\vartheta}}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} \right) %
  + \boldsymbol{j} \left( \frac{A^{\lambda}}{r} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} + \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} \right) \notag \\
  %
  {} & \qquad + \boldsymbol{k} \left( \frac{A^{\lambda}}{r} \frac{\sin \vartheta}{\cos \vartheta} + \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} - \frac{1}{r} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} \right) \label{eq:3.49}
  %
\end{align}
%
となり, 球座標系における発散演算子 \eqref{eq:3.49} が得られる. ここで \eqref{3.49} を行列を用いて表すことを試みる. そのために, まずは各単位ベクトル $ \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k} $ の係数を整理する. $ \boldsymbol{i} $ の係数を整理すると
%
\begin{align}
  %
  - \frac{A^{\vartheta}}{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} - \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} %
  %
  & = - \frac{1}{r} A^{\vartheta} \frac{\partial r}{\partial r} - \frac{1}{r} r \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} \notag \\
  %
  & = - \frac{1}{r} \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} \notag \\
  %
  & = \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( r^2 \cos \vartheta \left[ - \frac{1}{r} \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} \right] \right) \notag \\
  %
  & = \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( r \cos \vartheta \left[ \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} - \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial r} \right] \right) \label{eq:3.50}
  %
\end{align}
%
となる. 続いて $ \boldsymbol{j} $ の係数を整理すると
%
\begin{align}
  %
  \frac{A^{\lambda}}{r} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} + \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} %
  %
  & = \frac{1}{r} A^{\lambda} \frac{\partial r}{\partial r} + \frac{1}{r} r \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial r} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = \frac{1}{r} \frac{\partial (A^{\lambda} r)}{\partial r} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial r} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( r \left[ \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial r} - \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} \right] \right) \label{eq:3.51}
  %
\end{align}
%
となる. 最後に $ \boldsymbol{k} $ の係数を整理すると
%
\begin{align}
  %
  \frac{A^{\lambda}}{r} \frac{\sin \vartheta}{\cos \vartheta} + \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} - \frac{1}{r} \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} %
  %
  & = \frac{1}{r \cos \vartheta} A^{\lambda} \sin \vartheta - \frac{1}{r \cos \vartheta} \cos \vartheta \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = - \frac{1}{r \cos \vartheta} \left( A^{\lambda} (- \sin \vartheta) + \cos \vartheta \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = - \frac{1}{r \cos \vartheta} \left( A^{\lambda} \frac{\partial \cos \vartheta}{\partial \vartheta} + \cos \vartheta \frac{\partial A^{\lambda}}{\partial \vartheta} \right) + \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial ( A^{\lambda} \cos \vartheta ) }{\partial \vartheta} + \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial A^{\vartheta}}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = - \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial \vartheta} + \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial \lambda} \notag \\
  %
  & = \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial \lambda} - \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial \vartheta} \right) \label{eq:3.52}
  %
\end{align}
%
となる. \eqref{eq:3.50}, \eqref{eq:3.51}, \eqref{eq:3.52} を用いて \eqref{eq:3.49} を表すと
%
\begin{align}
  %
  \nabla \times \boldsymbol{A} %
  %
  & = \boldsymbol{i} \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( r \cos \vartheta \left[ \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} - \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial r} \right] \right) %
  %
  + \boldsymbol{j} \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( r \left[ \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial r} - \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} \right] \right) \notag \\
  %
  & \qquad + \boldsymbol{k} \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial \lambda} - \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial \vartheta} \right) \notag \\
  %
  & = \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \left( %
  %
  \boldsymbol{i} \left[ r \cos \vartheta \left( \frac{\partial A^{r}}{\partial \vartheta} - \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial r} \right) \right] %
    %
    + \boldsymbol{j} \left[ r \left( \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial r} - \frac{\partial A^{r}}{\partial \lambda} \right) \right] \right. \notag \\
    %
    & \qquad \left. + \boldsymbol{k} \left[ \frac{\partial (A^{\vartheta} r)}{\partial \lambda} - \frac{\partial (A^{\lambda} \cos \vartheta r)}{\partial \vartheta} \right] \right)
    %
    \label{eq:3.53}
  %
\end{align}
%
である. これを用いて \eqref{eq:3.53} を 3 次行列の形で表すと
%
\begin{equation}
  %
  \nabla \times \boldsymbol{A} %
  %
  = \frac{1}{r^2 \cos \vartheta} \begin{vmatrix}
    %
    r \cos \vartheta \boldsymbol{i} & r \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
    %
    \frac{\partial}{\partial \lambda} & \frac{\partial}{\partial \vartheta} & \frac{\partial}{\partial r} \\
    %
    A^{\lambda} \cos \vartheta r & A^{\vartheta} r & A^r
    %
  \end{vmatrix} \label{eq:3.54}
  %
\end{equation}
%
となる.
%
\section{球座標系における単位ベクトルの変化率}
%
この節では, 単位ベクトルの時間変化率を求めていく. デカルト座標系を例外とするが, ほとんどの座標系において単位ベクトルの方向は場所によって変化する. 球座標系においても, 図 \ref{fig:5} のように場所によって異なることが分かる.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig5.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    惑星の北半球に存在する位置ベクトル $ \boldsymbol{r}_1 $, $ \boldsymbol{r}_2 $ と, その地点の局所平面における $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ 方向の単位ベクトル $ \boldsymbol{i}_1 $, $ \boldsymbol{i}_2 $, $ \boldsymbol{j}_1 $,$ \boldsymbol{j}_2　$, $ \boldsymbol{k}_1 $, $ \boldsymbol{k}_2 $ の図. $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ はそれぞれ東方向の角度 (経度), 極方向の角度 (緯度), 惑星の中心からの距離である. この図から地点による単位ベクトルは方向が変わっていることが分かる.} \label{fig:5}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
位置ベクトルが流れに沿って移動していくとき, 単位ベクトルの方向の変化が生じ, 移動前の場所から見ると単位ベクトルは回転していることになる. そのため単位ベクトルの変化率, すなわち物質微分は回転の効果を含みゼロではない. 流速が $ \boldsymbol{v} $ = ($ u $, $ v $, $ w $) の流れに乗って移動している単位ベクトルの角速度ベクトルを $ \boldsymbol{\Omega}_{flow} $ とする. 単位ベクトルの変化率は \eqref{eq:2.3} を利用して
%
\begin{align*}
  %
  \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{i}}{\mathrm{d} t} &= \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{i}, \\
  %
  \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{j}}{\mathrm{d} t} &= \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{j}, \\
  %
  \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{k}}{\mathrm{d} t} &= \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{k}
  %
\end{align*}
%
である. これを物質微分で表すと
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{i}}{\mathrm{D} t} &= \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{i}, \label{eq:3.55} \\
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{j}}{\mathrm{D} t} &= \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{j}, \label{eq:3.56} \\
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{k}}{\mathrm{D} t} &= \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{k} \label{eq:3.57}
  %
\end{align}
%
となる.

ここで $ \boldsymbol{\Omega}_{flow} $ を導出する. 導出は, 流れによって生じる変位から $ \lambda $, $ \vartheta $ 方向の単位ベクトルの回転率を求め, それを係数とする角速度ベクトルを求めることで行う. なお $ r $ 方向の変位とは惑星の中心からの距離の変化であるため, 回転に影響を与えない. まず極方向の速度成分 $ v $ によって生じる変位と回転率のみを考える. 回転した緯度を $ \delta \vartheta $ とすると, 微小時間 $ \delta t $ の間に極方向に生じる変位は \eqref{eq:3.6} より
%
\begin{equation}
  %
  v \delta t = r \delta \vartheta \label{eq:3.58}
  %
\end{equation}
%
である. このときの位置ベクトルと単位ベクトルの変化は図 \ref{fig:6} の通り.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig6.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    惑星の回転軸を含む断面図における, 位置ベクトルと極方向の単位ベクトルの変化. 紙面垂直方向が $ \lambda $ 方向であり, 東西方向の単位ベクトル $ \boldsymbol{i} $ は紙面奥向きに存在する. 時刻 $ t $ における位置ベクトルは $ \boldsymbol{r} $, 極方向の単位ベクトルは $ \boldsymbol{j} ( t ) $ である. また, 時刻 $ t + \delta t $ の位置ベクトルは $ \boldsymbol{r} + \delta \boldsymbol{r} $, 極方向の単位ベクトルは $ \boldsymbol{j} ( t + \delta t ) $ である. $ \delta t $ の間の流れによる変位は $ v \delta t = r \delta \vartheta $ である.}\label{fig:6}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
このとき, 位置ベクトルの回転率は $ \mathrm{d} \vartheta / \mathrm{d} t $ である. 単位ベクトルは位置ベクトルに対し垂直に存在しているため, その回転率も $ \mathrm{d} \vartheta / \mathrm{d} t $ である. 単位ベクトルのみの変化の様子は図 \ref{fig:7} の通りであり, その回転軸は $ \boldsymbol{i} $ 軸であることが分かる.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig7.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    図 \ref{fig:6} における単位ベクトルの変化を取り出した図. 単位ベクトル $ \boldsymbol{j}(t) $, $ \boldsymbol{j}(t + \delta t) $ は始点を揃えており, このとき紙面奥向きに $ \boldsymbol{i} $ が存在する. $ \boldsymbol{j} $ は回転率 $ \mathrm{d} \vartheta / \mathrm{d} t $ で回転しており, 回転軸は $ \boldsymbol{i} $ 軸である.} \label{fig:7}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
\eqref{eq:3.58} より
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\delta \vartheta}{\delta t} = \frac{v}{r} \notag
  %
\end{equation}
%
であり, $ \delta t \to 0 $ の極限操作を行うと
%
\begin{align}
  %
  \lim_{\delta t \to 0} \frac{\delta \vartheta}{\delta t} &= %
  %
  \frac{\mathrm{d} \vartheta}{\mathrm{d} t} \notag \\
  %
  &= \frac{v}{r} \notag
  %
\end{align}
%
である. したがって, 流れの極方向成分によって生じる回転は $ - (v/r) \boldsymbol{i} $ の角速度ベクトルを生じさせる. ただし, $ \boldsymbol{i} $ に向かって時計回りに回転しているため負の符号がついている.

次に東西方向の速度成分 $ u $ によって生じる変位と回転率を考える. 回転した経度を $ \delta \lambda $ とすると, 微小時間 $ \delta t $ の間に東西方向に生じる変位は, \eqref{eq:3.5} より
%
\begin{equation}
  %
  u \delta t = r \cos \vartheta \delta \lambda \label{eq:3.59}
  %
\end{equation}
%
である. このときの位置ベクトルと単位ベクトルの変化は図 \ref{fig:8} の通り.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig8.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    $ \vartheta = 0 $ の惑星の断面図における, 位置ベクトルと極方向の単位ベクトルの変化. 紙面垂直方向が惑星の回転軸方向であり, 惑星の角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega} $ は紙面手前向きに存在する. 時刻 $ t $ における位置ベクトルは $ \boldsymbol{r} $, 東西方向の単位ベクトルは $ \boldsymbol{i} ( t ) $ である. また, 時刻 $ t + \delta t $ の位置ベクトルは $ \boldsymbol{r} + \delta \boldsymbol{r} $, 東西方向の単位ベクトルは $ \boldsymbol{i} ( t + \delta t ) $ である. $ \delta t $ の間の流れによる変位は $ u \delta t = r \cos \vartheta \delta \lambda $ である.}\label{fig:8}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
このとき, 位置ベクトルの回転率は $ \mathrm{d} \lambda / \mathrm{d} t $ であり, 単位ベクトルも同様に $ \mathrm{d} \lambda / \mathrm{d} t $ の回転率を持つ. 単位ベクトルのみの変化の様子は図 \ref{fig:9} の通りであり, 単位ベクトルの回転軸は惑星の回転軸と方向が一致していることが分かる.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig9.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    図 \ref{fig:8} における単位ベクトルの変化を取り出した図. 単位ベクトル $ \boldsymbol{i}(t) $, $ \boldsymbol{i}(t + \delta t) $ は始点を揃えており, このとき紙面手前向きに $ \boldsymbol{\Omega} $ が存在する. $ \boldsymbol{i} $ は回転率 $ \mathrm{d} \lambda / \mathrm{d} t $ で回転しており, 単位ベクトルの回転軸は惑星の回転軸と方向が一致している.} \label{fig:9}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
ここで $ \boldsymbol{\Omega} $ は惑星の中心を原点とするデカルト座標系において $ z $ 軸方向に存在しており, 単位ベクトルを $ \boldsymbol{e}_z $ とすると $ \boldsymbol{\Omega} = \Omega \boldsymbol{e}_z $ となる. したがって, 単位ベクトルの回転軸は $ \boldsymbol{e}_z $ 軸である. ここまでで, 単位ベクトル $ \boldsymbol{i} $ は $ \boldsymbol{e}_z $ を軸として, $ \mathrm{d} \lambda / \mathrm{d} t $ の回転率で回転していることが分かる. $ \boldsymbol{e}_z $ は局所平面において $ \boldsymbol{j} $, $ \boldsymbol{k} $ の方向に, 図 \ref{fig:10} のように分解できるため
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{e}_z = \cos \vartheta \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \boldsymbol{k} \label{eq:3.60}
  %
\end{equation}
%
と書くことができる.
%
\begin{figure}[htb]
  \begin{center}
    \Depsf[][][ trim = 0 50 0 50, scale = 0.5]{./Fig/Fig10.pdf}
  \end{center}
  \caption{
    惑星の回転軸を含む断面図における, 位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ と局所平面における極方向の単位ベクトル $ \boldsymbol{j} $, 惑星の中心から離れる方向の単位ベクトル $ \boldsymbol{k} $ の図. 回転軸方向には惑星の自転の角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega} $ が存在している. 惑星中心を原点とするデカルト座標系を考えたときの $ z $ 方向の単位ベクトルを $ \boldsymbol{e}_z $ とすると $ \boldsymbol{\Omega} = \Omega \boldsymbol{e}_z $ である. また $ \boldsymbol{e}_z $ を $ \boldsymbol{j} $, $ \boldsymbol{k} $ を用いて表すと \eqref{eq:3.60} の通り.} \label{fig:10}
%  \Dfiglab{Vallis_2017_fig-2.1}
\end{figure}
%
また \eqref{eq:3.59} より
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\delta \lambda}{\delta t} = \frac{u}{r \cos \vartheta} \notag
  %
\end{equation}
%
であり, $ \delta t \to 0 $ の極限操作を行うと
%
\begin{align}
  %
  \lim_{\delta t \to 0} \frac{\delta \lambda}{\delta t} &= \frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t} \notag \\
  %
  &= \frac{u}{r \cos \vartheta} \notag
  %
\end{align}
%
となる. 以上より, 流れの東西方向成分によって生じる回転は
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{d} \lambda}{\mathrm{d} t} \boldsymbol{e}_z %
  %
  &= \frac{u}{r \cos \vartheta} (\cos \vartheta \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \boldsymbol{k}) \notag \\
  %
  &= \frac{u}{r} \boldsymbol{j} + \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{k} \notag
  %
\end{align}
%
の角速度ベクトルを生じさせる. 極方向の流れによる回転の角速度ベクトルと, 東西方向の流れによる角速度ベクトルをあわせて, 単位ベクトルの角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega}_{flow} $ は
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{\Omega}_{flow} = - \frac{v}{r} \boldsymbol{i} + \frac{u}{r} \boldsymbol{j} + \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{k} \label{eq:3.61}
  %
\end{equation}
%
である.

\eqref{eq:3.61} を \eqref{eq:3.55}, \eqref{eq:3.56}, \eqref{eq:3.57} に用いると
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{i}}{\mathrm{D} t} %
  %
  &= \left( - \frac{v}{r} \boldsymbol{i} + \frac{u}{r} \boldsymbol{j} + \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{k} \right) \times \boldsymbol{i} \notag \\
  %
  &= \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{j} - \frac{u}{r} \boldsymbol{k}, \label{eq:3.62}
  %
\end{align}
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{j}}{\mathrm{D} t} %
  %
  &= \left( - \frac{v}{r} \boldsymbol{i} + \frac{u}{r} \boldsymbol{j} + \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{k} \right) \times \boldsymbol{j} \notag \\
  %
  &= - \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{i} - \frac{v}{r} \boldsymbol{k}, \label{eq:3.63}
  %
\end{align}
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{k}}{\mathrm{D} t} %
  %
  &= \left( - \frac{v}{r} \boldsymbol{i} + \frac{u}{r} \boldsymbol{j} + \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{k} \right) \times \boldsymbol{k} \notag \\
  %
  &= \frac{u}{r} \boldsymbol{i} + \frac{v}{r} \boldsymbol{j} \label{eq:3.64}
  %
\end{align}
%
となり, 単位ベクトルの物質微分が得られた.
%
\section{回転球座標系における非粘性流体の運動方程式}
%
第 2 章にて, 回転系における非粘性流体の運動方程式 \eqref{eq:2.18}\footnote{
  \eqref{eq:2.18} を再掲する.
  %
  \begin{equation*}
    %
    \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} %
    %
    + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
    %
    = - \frac{1}{\rho} \nabla p - \nabla \Phi_{ce} + \boldsymbol{F} \tag{2.12}
    %
  \end{equation*}
  %
  ここで $ \boldsymbol{v}_R $ は回転系から観測した流体の速度, $ \mathrm{D} / \mathrm{D} t $ は物質微分を表す演算子, $ \boldsymbol{\Omega} $ は系の回転に伴う角速度ベクトル, $ \rho $ は流体の密度, $ p $ は流体にかかる圧力, $ \Phi_{ce} $ は遠心力 $ \boldsymbol{F}_{ce} $ を $ - \nabla \Phi_{ce} $ と表すときのスカラーポテンシャル, $ \boldsymbol{F} $ は流体にかかる外力である.} を求めた. また, 3.1 節にて実効重力 $ \boldsymbol{g} $ の定義を行った. \eqref{eq:2.18} にて外力 $ \boldsymbol{F} $ からニュートン引力 $ \boldsymbol{g}_{grav} $ を別の項として取り出すと
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  %
  &= - \frac{1}{\rho} \nabla p - \nabla \Phi_{ce} + \boldsymbol{g}_{grav} + \boldsymbol{F} \notag \\
  %
  &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \boldsymbol{F}_{ce} + \boldsymbol{g}_{grav} + \boldsymbol{F} \notag
  %
\end{align}
%
である. ここで \eqref{eq:2.16} の $ \boldsymbol{F}_{ce} = - \nabla \Phi_{ce} $ を用いた. 実効重力 $ \boldsymbol{g} $ を用いて表すと, \eqref{eq:3.1} より
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  %
  &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \boldsymbol{F}_{ce} + \boldsymbol{g}_{grav} + \boldsymbol{F} \notag \\
  %
  &= - \frac{1}{\rho} \nabla p + \boldsymbol{g} + \boldsymbol{F} \notag
  %
\end{align}
%
となる. $ \Phi $ をジオポテンシャルとして定義し, \eqref{eq:3.2} を用いて上式を書き直すと
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{D} t} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  %
  = - \frac{1}{\rho} \nabla p - \nabla \Phi + \boldsymbol{F} \label{eq:3.65}
  %
\end{equation}
%
となる. \eqref{eq:3.65} は座標系によらず, 回転している系における運動方程式である. これを球座標系における 3 成分 $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ に分解してそれぞれ書き表す. まず各項を成分ごとに書き表していく.

$ \boldsymbol{v} = u \boldsymbol{i} + v \boldsymbol{j} + w \boldsymbol{k} $ (ただし, $ u $, $ v $, $ w $ は $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ 方向の速度成分, $ \boldsymbol{i} $, $ \boldsymbol{j} $, $ \boldsymbol{k} $ は $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ 方向の単位ベクトルである) とするとき, $ \mathrm{D} \boldsymbol{v} / \mathrm{D} t $ は
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} %
  %
  = \frac{\mathrm{D} u}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{i} + u \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{i}}{\mathrm{D} t} %
  %
  + \frac{\mathrm{D} v}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{j} + v \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{j}}{\mathrm{D} t} %
  %
  + \frac{\mathrm{D} w}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{k} + w \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{k}}{\mathrm{D} t} \notag
  %
\end{equation}
%
となる. ここで \eqref{eq:3.62}, \eqref{eq:3.63}, \eqref{eq:3.64} を用いると
%
\begin{align}
  %
  \begin{split}
    %
    \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} %
    %
    = {} & \frac{\mathrm{D} u}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{i} + \frac{\mathrm{D} v}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{j} + \frac{\mathrm{D} w}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{k} \\
    %
    & \quad + u \left( \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{j} - \frac{u}{r} \boldsymbol{k} \right) %
    + v \left( - \frac{u \tan \vartheta}{r} \boldsymbol{i} - \frac{v}{r} \boldsymbol{k} \right) %
    + w \left( \frac{u}{r} \boldsymbol{i} + \frac{v}{r} \boldsymbol{j} \right)
  %
  \end{split} \notag \\
  %
  \begin{split}
    %
    = {} & \boldsymbol{i} \left( \frac{\mathrm{D} u}{\mathrm{D} t} - \frac{u v \tan \vartheta}{r} + \frac{u w}{r} \right) %
    %
    + \boldsymbol{j} \left( \frac{\mathrm{D} v}{\mathrm{D} t} + \frac{u^2 \tan \vartheta}{r} + \frac{v w}{r} \right) \\
    %
    & \quad + \boldsymbol{k} \left( \frac{\mathrm{D} w}{\mathrm{D} t} - \frac{u^2}{r} - \frac{v^2}{r} \right)
    %
  \end{split} \label{eq:3.66}
  %
\end{align}
%
である.

$ \boldsymbol{\Omega} $ を球座標系における単位ベクトルを用いて表すと
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{\Omega} = \Omega ( \cos \vartheta \boldsymbol{j} + \sin \vartheta \boldsymbol{k} ) \notag
  %
\end{equation}
%
である. これを用いて $ 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v} $ を計算すると
%
\begin{align}
  %
  2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v} &=
  %
  \begin{vmatrix}
    %
    \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
    %
    0 & 2 \Omega \cos \vartheta & 2 \Omega \sin \vartheta \\
    %
    u & v & w
    %
  \end{vmatrix} \notag \\
  %
  &= \boldsymbol{i} ( 2 w \Omega \cos \vartheta - 2 v \Omega \sin \vartheta) %
  + \boldsymbol{j} 2 u \Omega \sin \vartheta  - \boldsymbol{k} 2 u \Omega \cos \vartheta \label{eq:3.67}
  %
\end{align}
%
となる.

\eqref{eq:3.65} の右辺第 1 項に球座標系における勾配演算子 \eqref{eq:3.43} を用いると
%
\begin{align}
  %
  - \frac{1}{\rho} \nabla p %
  %
  &= - \frac{1}{\rho} \left( \boldsymbol{i} \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial p}{\partial \lambda} %
  + \boldsymbol{j} \frac{1}{r} \frac{\partial p}{\partial \vartheta} %
  + \boldsymbol{k} \frac{\partial p}{\partial r} \right) \notag \\
  %
  &= - \boldsymbol{i} \frac{1}{\rho r \cos \vartheta} \frac{\partial p}{\partial \lambda} - \boldsymbol{j} \frac{1}{\rho r} \frac{\partial p}{\partial \vartheta} - \boldsymbol{k} \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} \label{eq:3.68}
  %
\end{align}
%
である. %右辺第 2 項はジオポテンシャルの勾配による項であるが, 3.1 節より勾配方向を鉛直方向と定義しているため, 係数 $ g $ を用いて
%%
%\begin{equation}
%  %
%  \nabla \Phi = - g \boldsymbol{k} \label{eq:3.69}
%  %
%\end{equation}
%%
%とすることができる. %また, $ g $ は実効重力の大きさであり, 重力加速度であると考えることができる.
右辺第 2 項はジオポテンシャルの勾配による項であるため, \eqref{eq:3.68} と同様に \eqref{eq:3.43} を用いて
%
\begin{align}
  %
  \nabla \Phi = \boldsymbol{i} \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \Phi}{\partial \lambda} + \boldsymbol{j} \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \vartheta} + \boldsymbol{k} \frac{\partial \Phi}{\partial r} \label{eq:3.69}
  %
\end{align}
%
である. また $ \boldsymbol{F} $ = ($F_{\lambda}$, $F_{\vartheta}$, $ F_r $) と表すことにする.

\eqref{eq:3.66}, \eqref{eq:3.67}, \eqref{eq:3.68}, \eqref{eq:3.69} より, $ \boldsymbol{\Omega} $ で回転している球座標系における非粘性流体の運動方程式は, $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ の各成分ごとに書き表すと
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} u}{\mathrm{D} t} - \frac{u v \tan \vartheta}{r} + \frac{u w}{r} + 2 w \Omega \cos \vartheta - 2 v \Omega \sin \vartheta %
  %
  = - \frac{1}{\rho r \cos \vartheta} \frac{\partial p}{\partial \lambda} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \Phi}{\partial \lambda} + F_{\lambda} \label{eq:3.70}
  %
\end{equation}
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} v}{\mathrm{D} t} + \frac{u^2 \tan \vartheta}{r} + \frac{v w}{r} + 2 u \Omega \sin \vartheta %
  %
  = - \frac{1}{\rho r} \frac{\partial p}{\partial \vartheta} - \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \vartheta} + F_{\vartheta} \label{eq:3.71}
  %
\end{equation}
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} w}{\mathrm{D} t} - \frac{u^2}{r} - \frac{v^2}{r} - 2 u \Omega \cos \vartheta %
  %
  = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r} - \frac{\partial \Phi}{\partial r} + F_r \label{eq:3.72}
  %
\end{equation}
%
となる.

% ここで本文おしまい
%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
