
%% % 卒業論文 
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\chapter{考察}    % 章の始めからの場合はこのコマンドを使用する

%\section{エクマン層}      % 節の始めからの場合はこのコマンドを使用する

%\section{○○}
\markright{第\arabic{chapter}章 考察} 

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\section{コリオリ力}
%
第 2 章では, 慣性加速度と相対加速度の関係式 \eqref{eq:2.10} が得られた. \eqref{eq:2.10} を再掲すると
%
\begin{equation*}
  %
  \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_R}{\mathrm{d} t} \right)_R %
  = \left( \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{v}_I}{\mathrm{d} t} \right)_I %
  - 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R %
  - \boldsymbol{\Omega} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r}) %
  \quad \text{at} \quad \left| \boldsymbol{\Omega} \right| = \Omega = const \tag{2.10}
  %
\end{equation*}
%
である. この式の右辺第 2 項は単位質量あたりのコリオリ力, 第 3 項は単位質量あたりの遠心力である. \eqref{eq:1.1} と比較すると, この 2 つの項が新しく記述されており, これら 2 つは, 系が回転することによって生じる特有の力であることが分かる. このコリオリ力の性質について, この節では考察を行う.

単位質量あたりのコリオリ力 $ \boldsymbol{F}_{Co} $ は
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{F}_{Co} = -2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R \label{eq:4.1}
  %
\end{equation}
%
で表される. 回転に伴うベクトルの変化率は\eqref{eq:2.3}\footnote{
  \eqref{eq:2.3} を再掲する.
  %
  \begin{equation*}
    %
    \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{C}}{\mathrm{d} t} = \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{C}. \tag{2.3}
    %
  \end{equation*}
  %
  ただし, $ \boldsymbol{\Omega} $ は座標系の回転に伴う角速度ベクトルである.} であるため, コリオリ力は惑星の自転によって流体に生じる見かけの力であることが分かる. 見かけの力としたのは, 実際に外力として働いているのではないからである.

流体中の物体が回転系上で静止し続けるときを考える. このとき相対速度について
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{v}_R = \boldsymbol{0} \label{eq:4.2}
  %
\end{equation}
%
が成り立つ. これらを \eqref{eq:4.1} に代入すると
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{F}_{Co} &= -2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{0} \notag \\
  %
  \boldsymbol{F}_{Co} &= \boldsymbol{0} \label{eq:4.3}
  %
\end{align}
%
となる. これは回転系で静止している物体に対してコリオリ力は力を及ぼしていない, すなわちコリオリ力が働いていないことを表している. また, コリオリ力に対し慣性速度の内積を取ると,
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{F}_{Co} \cdot \boldsymbol{v}_R %
  &= ( -2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R ) \cdot \boldsymbol{v}_R \notag \\
  %
  &= \boldsymbol{v}_R \cdot ( -2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v}_R ) \notag \\
  %
  &= -2 \boldsymbol{\Omega} \cdot ( \boldsymbol{v}_R \times \boldsymbol{v}_R ) \notag \\
  %
  &= -2 \boldsymbol{\Omega} \cdot 0 \notag \\
  %
  &= 0 \label{eq:4.4}
  %
\end{align}
%
となる. \eqref{eq:4.4} 式の結果より, コリオリ力は物体の速度ベクトルと垂直の方向に働いていおり, 物体に対して仕事をせず, 進行方向に対し直角となる方向へ偏向させていることが分かる.
%
\section{メトリック項}

第 3 章では, \eqref{eq:2.18} を球座標系にて記述することを考え, $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ 方向の非粘性流体の運動方程式, \eqref{eq:3.70}, \eqref{eq:3.71}, \eqref{eq:3.72} を求めた. \eqref{eq:3.70}, \eqref{eq:3.71}, \eqref{eq:3.72} を再掲する.
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\mathrm{D} u}{\mathrm{D} t} - \frac{u v \tan \vartheta}{r} + \frac{u w}{r} + 2 w \Omega \cos \vartheta - 2 v \Omega \sin \vartheta %
  %
  = - \frac{1}{\rho r \cos \vartheta} \frac{\partial p}{\partial \lambda} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \Phi}{\partial \lambda} + F_{\lambda},  \tag{3.70}
  %
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\mathrm{D} v}{\mathrm{D} t} + \frac{u^2 \tan \vartheta}{r} + \frac{v w}{r} + 2 u \Omega \sin \vartheta %
  %
  = - \frac{1}{\rho r} \frac{\partial p}{\partial \vartheta} - \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \vartheta} + F_{\vartheta},  \tag{3.71}
  %
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\mathrm{D} w}{\mathrm{D} t} - \frac{u^2}{r} - \frac{v^2}{r} - 2 u \Omega \cos \vartheta %
  %
  = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}  \frac{\partial \Phi}{\partial r} + F_r. \tag{3.72}
  %
\end{equation*}
%
これらの式において, $ \Omega $ が含まれている項はコリオリ項と呼ばれ, $ 1 / r $ を含む速度成分について 2 次の項のことはメトリック項と呼ばれる. コリオリ項は前節に考察したコリオリ力による項である. この節ではメトリック項について考察をする.

議論のために, \eqref{eq:3.70}, \eqref{eq:3.71}, \eqref{eq:3.72} のメトリック項を抜き出し, 単位ベクトル $ \boldsymbol{i} $, $ \boldsymbol{j} $, $ \boldsymbol{k} $ とともに記述する. このとき得られるベクトルを $ \boldsymbol{M} $ とおくと
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{M} %
  %
  = \boldsymbol{i} \left( \frac{u v \tan \vartheta}{r} + \frac{u w}{r} \right) %
  %
  + \boldsymbol{j} \left( \frac{u^2 \tan \vartheta}{r} + \frac{v w}{r} \right) %
  %
  + \boldsymbol{k} \left( - \frac{u^2}{r} - \frac{v^2}{r} \right) \notag
  %
\end{equation}
%
である. これを $ \boldsymbol{v} = ( u, v, w ) $ を用いて書き直すと
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{M}%
  %
  & = \begin{pmatrix}
    \frac{u}{r} w - \frac{u \tan \vartheta}{r} v \\
    \frac{u \tan \vartheta}{r} u - \left( - \frac{v}{r} \right) w \\
    \left( - \frac{v}{r} \right) r - \frac{u}{r} u
  \end{pmatrix}
  \notag \\
  %
  & = \begin{pmatrix}
    - \frac{v}{r} \\ \frac{u}{r} \\ \frac{u \tan \vartheta}{r}
  \end{pmatrix}
  \times
  \begin{pmatrix}
    u \\ v \\ w
  \end{pmatrix}
  \notag \\
  %
  &= \begin{pmatrix}
    - \frac{v}{r} \\ \frac{u}{r} \\ \frac{u \tan \vartheta}{r}
  \end{pmatrix}
  \times
  \boldsymbol{v} \notag
  %
\end{align}
%
となる. これに \eqref{eq:3.61} を用いると
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{M} = \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{v} \label{eq:4.5}
  %
\end{equation}
%
となる. $ \boldsymbol{\Omega} $ は, 球座標系における単位ベクトルが流速 $ \boldsymbol{v} $ の流れに乗って移動しているとき, 場所によって方向が変わることによって生じる角速度ベクトルであった. また, 回転に伴うベクトルの変化率は \eqref{eq:2.3} であるため, \eqref{eq:4.5}, 及びメトリック項は球座標系の単位ベクトルの方向が変わることによって生じる速度ベクトルの変化率, すなわち加速度を表している. したがって, メトリック項自体が球座標系を考えることで生じるものであることが分かる.

ここまではメトリック項自体を変形しその形式を見ることで, メトリック項が球座標系に特有のものであると考えた. 一方で, メトリック項が球座標系を考えたときに生じることは, 惑星の中心を原点としたデカルト座標系での運動方程式と比較することでも確認できる. これは, デカルト座標系では場所による単位ベクトルの方向の変化が存在しないためである. これを見るため, 3.5 節と同様に, 非粘性流体の運動方程式 \eqref{eq:2.18} を, 回転しているデカルト座標系の $ x $, $ y $, $ z $ 方向に分けて書くことを試みる. ここで $ \boldsymbol{v} $ を $ \boldsymbol{v} = v_x \boldsymbol{e}_x + v_y \boldsymbol{e}_y + v_w \boldsymbol{e}_z $, $ \boldsymbol{\Omega} $ を $ \boldsymbol{\Omega} = \Omega \boldsymbol{e}_z $, $ \boldsymbol{F} = F_x \boldsymbol{e}_x + F_y \boldsymbol{e}_y + F_z \boldsymbol{e}_z $ とする. また, $ \boldsymbol{e}_x $, $ \boldsymbol{e}_y $, $ \boldsymbol{e}_z $ は原点を中心としたデカルト座標における $ x $, $ y $, $ z $ 方向の単位ベクトルであるとする. 単位ベクトルが流れ $ \boldsymbol{v} $ とともに移動しているとき, 単位ベクトルの場所による方向変化は存在せず, また大きさも変わらないため
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{e}_x}{\mathrm{D} t} %
  %
  = \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{e}_y}{\mathrm{D} t} %
  %
  = \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{e}_z}{\mathrm{D} t} %
  %
  = 0 \notag
  %
\end{equation}
%
が成り立つ. 従って $ \boldsymbol{v} $ の物質微分は
%
\begin{align}
  %
  \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{v}}{\mathrm{D} t} %
  %
  &= \frac{\mathrm{D} v_x}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{e}_x + v_x \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{e}_x}{\mathrm{D} t} %
  %
  + \frac{\mathrm{D} v_y}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{e}_y + v_y \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{e}_y}{\mathrm{D} t} %
  %
  + \frac{\mathrm{D} v_z}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{e}_z + v_z \frac{\mathrm{D} \boldsymbol{e}_z}{\mathrm{D} t} \notag　\\
  %
  &= \frac{\mathrm{D} v_x}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{e}_x + \frac{\mathrm{D} v_y}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{e}_y + \frac{\mathrm{D} v_z}{\mathrm{D} t} \boldsymbol{e}_z \label{eq:4.6}
  %
\end{align}
%
である. コリオリ項は
%
\begin{align}
  %
  2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v} %
  %
  &= \begin{vmatrix}
    \boldsymbol{e}_x & \boldsymbol{e}_y & \boldsymbol{e}_z \\
    0 & 0 & \Omega \\
    v_x & v_y & v_z
  \end{vmatrix}
  \notag \\
  %
  &= - \Omega v_y \boldsymbol{e}_x + \Omega v_x \boldsymbol{e}_z \label{eq:4.7}
  %
\end{align}
%
である. また, デカルト座標系における演算子 $ \nabla $ は $ \nabla = ( \partial / \partial x ) \boldsymbol{e}_x + ( \partial / \partial y ) \boldsymbol{e}_y + ( \partial / \partial z ) \boldsymbol{e}_z $ であることを用いると
%
\begin{equation}
  %
  - \frac{1}{\rho} \nabla p %
  %
  = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} \boldsymbol{e}_x %
  - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} \boldsymbol{e}_y %
  - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} \boldsymbol{e}_z, \label{eq:4.8}
  %
\end{equation}
%
\begin{equation}
  %
  - \nabla \Phi %
  %
  = - \frac{\partial \Phi}{\partial x} \boldsymbol{e}_x %
  - \frac{\partial \Phi}{\partial y} \boldsymbol{e}_y %
  - \frac{\partial \Phi}{\partial z} \boldsymbol{e}_z, \label{eq:4.9}
  %
\end{equation}
%
である. \eqref{eq:2.18}, \eqref{eq:4.6}, \eqref{eq:4.7}, \eqref{eq:4.8}, \eqref{eq:4.9} より, 惑星の中心を原点とする回転デカルト座標系における非粘性流体運動方程式は, $ x $, $ y $, $ z $ 方向それぞれ記述すると
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} v_x}{\mathrm{D} t} - \Omega v_y %
  %
  = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x} - \frac{\partial \Phi}{\partial x} + F_x, \label{eq:4.10}
  %
\end{equation}
  %
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} v_y}{\mathrm{D} t} + \Omega v_x %
  %
  = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y} - \frac{\partial \Phi}{\partial y} + F_y, \label{eq:4.11}
  %
\end{equation}
%
\begin{equation}
  %
  \frac{\mathrm{D} v_z}{\mathrm{D} t} %
  %
  = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z} - \frac{\partial \Phi}{\partial z} + F_z \label{eq:4.12}
  %
\end{equation}
%
となる. \eqref{eq:3.70}, \eqref{eq:3.71}, \eqref{eq:3.72} と \eqref{eq:4.10}, \eqref{eq:4.11}, \eqref{eq:4.12} を比較すると, 後者には $ 1/r $ を含む速度成分の 2 次の項は存在していない. 以上より, メトリック項は球座標系を考えるときに生じる項であることが分かる.
%
\subsection{メトリック項の性質}
%
メトリック項は, 球座標系における単位ベクトルの方向が場所によって変わることによって生じる加速度であった. そのため, この加速度によって流体には見かけの力 $ \boldsymbol{F}_{me} $ がかかっていると考えられる. 以降では $ \boldsymbol{F}_{me} $ を
%
\begin{equation}
  %
  \boldsymbol{F}_{me} \equiv - \boldsymbol{M} = - \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{v} \label{eq:4.13}
  %
\end{equation}
%
とおいて考察を進めていく. また座標系は球座標系である.

流体が限りなくゆっくり流れているか, 静止しており $ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} $ とおけるときを考える. \eqref{eq:4.13} に $ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} $ を代入すると,
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{F}_{me}
  %
  &= - \boldsymbol{M} \times \boldsymbol{0} \notag \\
  %
  &= \boldsymbol{0} \label{eq:4.14}
  %
\end{align}
%
となる. これにより, ほぼ, もしくは完全に静止している流体には, 単位ベクトルの回転による力が存在しないことを表している. また $ \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} $ であるならば, \eqref{eq:3.61} より $ \boldsymbol{\Omega}_{flow} = \boldsymbol{0} $ である. したがって単位ベクトルは移動しないため, 角速度ベクトルを持たず, $ \boldsymbol{F}_{me} $ は生じないとも考えられる.

$ \boldsymbol{F}_{me} $ に 流れの速度 $ \boldsymbol{v} $ の内積を取ると
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{F}_{me} \cdot \boldsymbol{v} %
  %
  &= - \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{v} \notag \\
  %
  &= ( - \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{v} ) \cdot \boldsymbol{v} \notag \\
  %
  &= - \boldsymbol{\Omega}_{flow} \cdot ( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{v} ) \notag \\
  %
  &= - \boldsymbol{\Omega}_{flow} \cdot \boldsymbol{0} \label{eq:4.15}
  %
\end{align}
%
である. \eqref{eq:4.15} の結果より, $ \boldsymbol{F}_{ce} $ は流体の速度 $ \boldsymbol{v} $ と垂直の方向に働いており, 流体に対しては仕事をせず, 流れの方向に対し直角する方向へ偏向させていることが分かる.

$ \boldsymbol{v} $ が $ \boldsymbol{v} = (u, 0, w) $ であり, 極方向へ流体が流れないときのことを考える. このとき $ \boldsymbol{F}_{me} $ は
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{F}_{me} %
  %
  &= - \boldsymbol{\Omega}_{flow} \times \boldsymbol{v} \notag \\
  %
  &= - \begin{pmatrix}
    0 \\ \frac{u}{r} \\ \frac{u \tan \vartheta}{r}
  \end{pmatrix}
  \times
  \boldsymbol{v} \notag \\
  %
  &= - \frac{u}{r} \begin{pmatrix}
    0 \\ 1 \\ \tan \vartheta
  \end{pmatrix}
  \times
  \boldsymbol{v} \label{eq:4.16}
  %
\end{align}
%
である. また同じ流体のコリオリ力 $ \boldsymbol{F}_{Co} $ は
%
\begin{align}
  %
  \boldsymbol{F}_{me} %
  %
  &= - 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v} \notag \\
  %
  &= - 2 \begin{pmatrix}
    0 \\ \Omega \cos \vartheta \\ \Omega \sin \vartheta 
  \end{pmatrix}
  \times
  \boldsymbol{v} \notag \\
  %
  &= - 2 \Omega \cos \vartheta \begin{pmatrix}
    0 \\ 1 \\ \tan \vartheta 
  \end{pmatrix}
  \times
  \boldsymbol{v} \label{eq:4.17}
  %
\end{align}
%
となる. \eqref{eq:4.16}, \eqref{eq:4.17} を比較すると, $ \boldsymbol{F}_{me} $ とコリオリ力 $ \boldsymbol{F}_{Co} $ が同じ方向を向いていることが分かる.


%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
