
%% % 卒業論文 
%% % タイトル「未定」
%% %
%% % 20XX/XX/XX 修正
%% % 20XX/XX/XX 作成
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%% %%
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%% \Ddate{2019/01/08}        % ゼミの日時 (毎回変更すること)
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%% \begin{document}
\chapter{結論}

\markright{第\arabic{chapter}章 結論} %  節の題名を書き込むこと

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本論文では, 回転球座標系における非粘性流体の運動方程式について, 任意の座標の慣性系における流体の運動方程式に対し, 座標系が回転のするときの効果を含めることと, 球座標系の $ \lambda $, $ \vartheta $, $ r $ 方向での式をそれぞれ記述することから導出した. %\eqref{eq:1.1} を再掲する.
%%
%\begin{equation*}
%  %
%%  = - \frac{\nabla p}{\rho} + \nu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \boldsymbol{F}. \tag{1.1}
%  %
%\end{equation*}
%

回転の効果として, 遠心力とコリオリ力が存在していた. 座標系が角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega} $ で回転するとき, 位置ベクトル $ \boldsymbol{r} $ と速度ベクトル $ \boldsymbol{v} $ とすると, 遠心力 $ \boldsymbol{F}_{ce} $ は $ - \boldsymbol{\Omega} \times ( \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{r} ) $, コリオリ力 $ \boldsymbol{F}_{Co} $ は $ - 2 \boldsymbol{\Omega} \times \boldsymbol{v} $ である. 遠心力はスカラーポテンシャル $ \Phi_{ce} $ を用いて $ - \nabla \Phi_{ce} $ で表すことができるポテンシャル力である. 同じようにポテンシャル力であるニュートン引力とあわせて実効重力を定義し, ジオポテンシャル $ \Phi $ を用いて書くことができた. コリオリ力は回転系上で静止しているものに対して存在せず, 進行方向に直角に偏向させるように働いていることがわかった.

回転の効果を考慮した運動方程式を球座標系で書き表すとメトリック項の存在を確認できた. これは球座標系において単位ベクトルの方向が変わることによって生じる角速度ベクトル $ \boldsymbol{\Omega}_{flow} $ によって生じる加速度を表す. メトリック項を $ \boldsymbol{M} $ とし, $ \boldsymbol{F}_{me} = - \boldsymbol{M} $ とする力を考えると, $ \boldsymbol{F}_{me} $ も回転系上で静止しているものに対して存在せず, 進行方向に直角に偏向させるように働いていることがわかった. また, 極方向への流れが存在しないとき, $ \boldsymbol{F}_{me} $ はコリオリ力と同じ方向に働いている. 

最終的に回転球座標系の非粘性流体の運動方程式として, 以下の 3 つの式が得られた.
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\mathrm{D} u}{\mathrm{D} t} - \frac{u v \tan \vartheta}{r} + \frac{u w}{r} + 2 w \Omega \cos \vartheta - 2 v \Omega \sin \vartheta %
  %
  = - \frac{1}{\rho r \cos \vartheta} \frac{\partial p}{\partial \lambda} - \frac{1}{r \cos \vartheta} \frac{\partial \Phi}{\partial \lambda} + F_{\lambda},  \tag{3.70}
  %
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\mathrm{D} v}{\mathrm{D} t} + \frac{u^2 \tan \vartheta}{r} + \frac{v w}{r} + 2 u \Omega \sin \vartheta %
  %
  = - \frac{1}{\rho r} \frac{\partial p}{\partial \vartheta} - \frac{1}{r} \frac{\partial \Phi}{\partial \vartheta} + F_{\vartheta},  \tag{3.71}
  %
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  %
  \frac{\mathrm{D} w}{\mathrm{D} t} - \frac{u^2}{r} - \frac{v^2}{r} - 2 u \Omega \cos \vartheta %
  %
  = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial r}  \frac{\partial \Phi}{\partial r} + F_r. \tag{3.72}
  %
\end{equation*}


%\end{document}
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


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%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
