<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\chapter*{Appendix B. ガンマ関数とその性質}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Appendix B. ガンマ関数とその性質}
  ガンマ関数は次の式で定義される。ここで$n$ は任意の正の実数である。
\[ \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n-1}dx.\]
  次にガンマ関数のいくつかの性質について述べる。
\begin{enumerate}
  \item $\Gamma (n)=(n-1)\Gamma(n-1)$\\ 
  ＜証明＞ $\Gamma (n)$を部分積分法によって積分すれば
   \begin{eqnarray}
      \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n-1}dx&amp;=&amp;\left[-e^{-x}x^{n-1}\right]
                         _{0}^{\infty} +(n-1)\int_{0}^{\infty} 
                                         e^{-x} x^{n-2}dx \nonumber \\
                                        &amp;=&amp;(n-1)\int_{0}^{\infty} e^{-x} 
                                           x^{n-2}dx.\nonumber \\
\end{eqnarray}

ガンマ関数記号を用いれば
\[ \Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1).\]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(証明終わり)
 \item $n&gt;0$ が整数のとき$\Gamma (n)=(n-1)!$  \\
   ＜証明＞ 1.を繰り返して置き換えれば
     \[ \Gamma (n)=(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1 \cdot \Gamma (1) \]
    となる。そして
     \[ \Gamma (1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x} dx 
                = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=1  \]
    であるから
     \[ \Gamma (n)=(n-1)!.\]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~($n=1$のときも$0!=1$で成り立つ)
   (証明終わり) 
 \item $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$  \\
    ＜証明＞ $x=y^{2}$ とおけば
       \begin{equation}
            \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty}e^{-x} x^{n-1} dx 
               =2 \int_{0}^{\infty}y^{2n-1} e^{-y^2} dy.
       \end{equation}
     故に、
     \[ \Gamma (\frac{1}{2})=2 \int_{0}^{\infty}e^{-y^2} dy,\]
     \[ \left[\Gamma (\frac{1}{2})\right]^2 
         = 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(y^2+z^2)} dydz.\]
     極座標変換して$(0&lt;r&lt;\infty,0&lt;\theta&lt;\frac{\pi}{2})$
   \begin{eqnarray}
     \left[\Gamma (\frac{1}{2})\right]^2
     &amp;=&amp;4\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi} \int_{0}^{\infty} 
              e^{-r^2} r drd\theta \nonumber   \\
     &amp;=&amp;4\left[\theta\right]_{0}^{\frac{1}{2}\pi} 
        \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_{0}^{\infty}\nonumber  \\
     &amp;=&amp;4 \cdot \frac{1}{2}\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi.\nonumber  \\
   \end{eqnarray}
   故に 
       \[\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.  \]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(証明終わり) 
 \item $n$のいくつかの値に対して$\Gamma (n)$を計算すると次のとおりである
    \footnote{$n=0$のとき$\Gamma (n)=\infty$であるが、この証明は難しい}。
      \begin{center}
        \begin{tabular}{lccccccr} \hline
           $n$    &amp; $\frac{1}{2}$ &amp; 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5  \\
   $\Gamma (n)$   &amp; $\sqrt{\pi}$  &amp; 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 6 &amp; 24  \\ \hline
        \end{tabular}
      \end{center}
\end{enumerate}</pre></body></html>