<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\chapter{母数の推定}
この章では母数の推定を扱う。母数の推定は上記のように統計的決定問題の
一つとして性格づけられるが、推定理論自体は決定理論が提唱される以前から、
推測統計学の重要な問題の一つとして展開されてきた長い歴史を持っている。

\vspace{5mm}
既に述べたように、決定理論の一問題としての推定問題の場合、目的とする
行動は母数の推定値を決定することである。以下本章で述べる推定の理論は、
いわゆる{\bf パラメトリックの理論}と呼ばれるものであって、ここで
我々は母集団分布が一つまたは幾つかの母数によって定められる特定の
形で与えられている場合に限定する。問題はこの母数の推定値を実験あるいは
観察の結果に基づいて決定することである。

\vspace{5mm}
伝統的な母数の推定方法には点推定の方法と区間推定の方法とがある。
{\bf 点推定}の方法は最もよいと思われるただ一つの推定値をもって母数を
推定する方法で、{\bf 区間推定}の方法は母数の真価が高い確率をもって含まれ
ていると考えられる実数値の区間によって母数を推定する方法である。
まず初めに点推定の方法を説明する。

\section{点推定}
母集団分布を定める母数は必ずしも一個に限られていない。そして母数の推定は
同時に二個以上の母数の推定を目的とする場合もあるが、以下では簡単な単一母数の
場合について考える。問題の構造は複数母数の場合についても同様である。

\begin{description}
\item{{\bf 点推定の定義}~~} 点推定の決定関数を
   \[  \hat{\theta}=d(X_1,X_2,\cdots,X_n)       \]
   とするとき、$\hat{\theta}$ を母数$\theta$ の{\bf 推定量}といい、
   $\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ の実際の観察値から計算された$\hat{\theta}$ の
   値を$\theta$ の{\bf 推定値}という\footnote{推定量：$\hat{\theta}$ は
   $\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ の関数。推定値：$\hat{\theta}$ は$\{X_1,X_2,
   \cdots,X_n\}$ から計算されたある値。}。
\end{description}

ここで$\hat{\theta}$ は推定という行動を意味する\footnote{行動を考える必
要はあるのだろうか?}と同時に、推定量という決定関数を意味する。
$\hat{\theta}=\theta$ ならば損失関数は$l(\hat{\theta},\theta)=0$ である。
点推定の問題はこのような損失関数を考慮して、危険$R$ の小さい決定関数、
即ち推定量を求めることである。

\vspace{5mm}
推定の場合の損失関数としては次の形の関数が使われることが多い\footnote
{一般的には$k$ 乗について。そういう意味では分散が重要なときに二乗したも
のを用いるべきだが、損失関数としては最もよく使われているようである。}。
\begin{equation}
 l(\hat{\theta};\theta)=c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2  \label{62.1}
\end{equation}
ここで$c(\theta)$ は$\theta$ のすべての値に対して正であるとする。この
損失関数は母数の推定量$\hat{\theta}$ と真の母数$\theta$ との差が大になる
ほど損失が大となることを意味する。実際にはこの$c(\theta)$ を定数、
特に$c(\theta)=1$ として、即ち損失関数を簡単に
\begin{equation}
  l(\hat{\theta};\theta)=(\hat{\theta}-\theta)^2  \label{heihougosa}
\end{equation}
の形で使う場合が多い。以下これを{\bf 平方誤差損失関数}と呼ぶことにする。

\vspace{5mm}
そこで問題は母集団$f(x;\theta)$ からの観察標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$
  に対して、次の危険関数を最小にするような決定関数を見出すことである。
\begin{eqnarray}
 R(d;\theta)&amp;=&amp;E[c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2] \nonumber  \\
            &amp;=&amp;c(\theta)E[(\hat{\theta}-\theta)^2]. \nonumber
\end{eqnarray}
いま推定量を二つの決定関数
\[  \hat{\theta}_1=d_1(X_i)~~~~~\hat{\theta}_2=d_2(X_i) \]
の中から選び出すものとして、$\theta$ の一定の値に対して$R(d_1;\theta)$
と$R(d_2;\theta)$ とを比較する。
\[   R(d_1;\theta)&gt;R(d_2;\theta)       \]
ならば明らかに$d_2=\hat{\theta}_2$ が選ばれる。このとき上の式は次のように
書ける。
\[   E[l(\hat{\theta}_1;\theta)]&gt;E[l(\hat{\theta}_2;\theta)].    \]
いま上記の損失関数 (\ref{62.1})を使用すれば、この不等式は次の通りになる。
\[  c(\theta)E[(\hat{\theta}_1-\theta)^2]
                  &gt; c(\theta)E[(\hat{\theta}_2-\theta)^2].       \]
$c(\theta)&gt;0$ であるから
\[ E[(\hat{\theta}_1-\theta)^2] &gt; E[(\hat{\theta}_2-\theta)^2].    \]
よって損失関数(\ref{62.1})の場合、上の不等式が成立するときは、
$\hat{\theta}_1$ の危険は$\hat{\theta}_2$ のそれよりも大である。よって
危険の最小な推定量を求める問題は、$E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$ 即ち
{\bf 平均平方誤差}の最小な推定量を求める問題に帰着する。ただし残念ながら
多くの$f(x;\theta)$ の場合、すべての$\theta$ に対して平均平方誤差が一様
に最小になるような推定量は存在しない。つまり$\theta$ の値によって
$E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$ を最小にするような$\hat{\theta}$ が異なる
のが普通である。よって平均平方誤差の最小は推定量選択の基本的な標準では
あるが、この標準だけで推定量の最良の形を推定することは困難であって、この
他に種々の性質が推定量の選択標準として考えられることになるのである。

\subsection{点推定量の条件}  
 推定量の条件として{\bf 平均平方誤差}の最小が基本的であることは上記の
通りであるが、平均平方誤差が最小となること以外で推定量として望ましい
性質としては、いくつかのものが考えられる。ここでは{\bf 不偏性}、{\bf 一致性}、
{\bf 効率}の三つについて説明するが、これらは推定量の性質として最も
重要、あるいは最も望ましいというよりは、むしろ推定の理論に関して
伝統的に最もしばしば取り上げられてきたものというのが正しいであろう。

 \subsubsection{不偏性}
 平均平方誤差は次のように表すことができる。
\begin{eqnarray}
  E[(\hat{\theta}-\theta)^2]&amp;=&amp;
     E[\{\hat{\theta}-E(\hat{\theta})\}-\theta-E(\hat{\theta})]^2 \nonumber \\
   &amp;=&amp;E[\{\hat{\theta}-E(\hat{\theta})\}^2]
                 +[\theta-E(\hat{\theta})]^2   \nonumber  \\
   &amp;=&amp;var(\hat{\theta})+[\theta-E(\hat{\theta})]  \label{63.1}  
\end{eqnarray}
よって平均平方誤差は二つの非負値の和である。$\theta-E(\hat{\theta})$ を
推定量$\theta$ の{\bf 偏り(バイアス)}という。推定量はその分散が小で
あって、同時に偏りも小であるほど良好である。従って推定量の偏りが
$0$ であること、即ち推定量が{\bf 不偏}であることは、それ自体望ましい
性質である。

\begin{description}
 \item{{\bf 不偏推定量の定義}~~} 母数空間$\Phi$ に属するすべての母数$\theta$ 
   に対して
      \[ E(\hat{\theta})=\theta     \]
   が成り立つとき、$\hat{\theta}$ を$\theta$ の{\bf 不偏推定量}という。
\end{description}

推定量が不偏であることは望ましいことであるが、それは推定量の不可欠の条件
ではない。幾分偏りがあっても、他の性質が優れていれば、推定量として
優先することも十分考えられる。推定量の分布の重心が母数に一致することと、
推定量の分布が母数の付近に集中していることとは別問題で、重要なのは後の方
の性質である。

\vspace{5mm}
推定量が母数に対して偏りを有するとき、その偏りが一定であれば、その偏りの
大きさだけ推定量を修正すれば不偏推定量が得られる。例えば
$E(\hat{\theta})=k\theta$ ならば、$E(\hat{\theta}/k)=\theta$ である。
\begin{description}
 \item{例 {\bf 分散の不偏推定量}} \\
  標本分散$s^2=\sum (X-\bar{X})^2/n$ は母分散$\sigma^2$ の不偏推定量では
  ない。
  \[  E(s^2)=\frac{n-1}{n} \sigma^2   \]
  だからである。ただしこの式から直ちに明らかなように
  \[  E(\frac{n}{n-1}s^2)=\sigma^2     \]
  であるから、分散の不偏推定量は標本分散$s^2$ を次のように修正することに
  よって簡単に得られる。
 \begin{equation} 
   \frac{n}{n-1}s^2=\frac{n}{n-1} \frac{\sum (X-\bar{X})^2}{n}
                   =\frac{\sum (X-\bar{X})^2}{n-1}  \label{63.2}
 \end{equation}
\end{description}
 
\subsubsection{一致性}
よい推定量は標本の大きさが大となるほど危険の大きさが小さくなるようなもの
でなければならない。いま
\[  \hat{\theta_n}=d_n(X_1,X_2,\cdots,X_n)       \]
を大きさ$n$ の標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ に基づく推定量を表すものと
する。このとき母数空間内のすべての$\theta$ に対して
\[  \lim_{n \to \infty} R(d_n;\theta)=0    \] 
が成り立てば、推定量$\hat{\theta}$ は母数$\theta$ の{\bf 一致推定量}で
あるという。損失関数に平方誤差形式(\ref{heihougosa})を仮定すれば、この
一致推定量は次の通り定義される。

\begin{description}
\item{{\bf 一致推定量の定義1}~~}
 母数空間$\Phi$ に属するすべての母数$\theta$ に対して
 \begin{equation}
   \lim_{n \to \infty} E[(\hat{\theta}_n-\theta)^2]=0 \label{63.3}
 \end{equation}
ならば、$\hat{\theta}$ は$\theta$ の{\bf (平均誤差)一致推定量}である。
\end{description}

(\ref{63.1})式で示したように、
$E[(\hat{\theta}_n-\theta)^2]=var(\hat{\theta})
    +[\theta-E(\hat{\theta}_n)]^2$ であるから、上の定義中の(\ref{63.3})
式は
\[  \lim_{n \to \infty} [var(\hat{\theta}_n)
          +\{\theta-E(\hat{\theta}_n)\}^2]=0     \]
となり、一致推定量では$n$ が大となるとき、推定量の分散も偏りも共に$0$ に
近付くことになる。従って上の定義はまた次のように表現することもできる。

\begin{description}
 \item{{\bf 一致推定量の定義2}~~} \label{teigi-6.8}
  $n \to \infty$ のとき$E(\hat{\theta}) \to \theta$、$var(\hat{\theta}) \to
   0$ ならば$\hat{\theta}$ は母数$\theta$ の一致推定量である。
\end{description}

\begin{description}
 \item{例~~  標本平均値$\bar{X}$ は母平均$\mu$ の一致推定量である。}
 (\ref{kakuriruhyohon})式の確率標本についての定義の系より
 $E(\bar{X})=\mu$。母分散が$\sigma^2$ のとき、標本平均値$\bar{X}$ の
分散は$var(\bar{X})=\sigma^2/n$ である。$\sigma^2$ が有限ならば、$n \to 
\theta$ のとき$\sigma^2/n \to 0$ となる。よって$\bar{X}$ は母平均$\mu$
の一致推定量である。
 \item{例~~  母平均が正規分布のとき、標本分散$S^2=\sum (X-\bar{X})^2/n$ は
       母分散$\sigma^2$ の一致推定量である。}
  p.\pageref{hyouhonsekirituteiri4}の定理4 により、$E(s^2)=((n-1)/n)\sigma^2$
  であるから、$n \to \infty$ のとき$E(s^2) \to \sigma^2$ である。また
  母集団が正規分布のとき、\pageref{teiri-5.11}の定理より$ns^2/\sigma^2$ 
  は自由度$n-1$ のカイ二乗分布をする。そしてカイ二乗変数の分散は自由度の
  $2$倍である。よって
  \begin{eqnarray}
    var(ns^2/\sigma^2)&amp;=&amp;(n/\sigma^2)^2 var(s^2)=2(n-1)  \nonumber \\
    var(s^2)&amp;=&amp;2(\frac{n-1}{n^2})\sigma^4
  \end{eqnarray}
  となる。従って$n \to \infty$ のとき$var(s^2) \to 0$ であり。即ち
  母集団が正規分布のとき、標本分散$s^2$ は母分散$\sigma^2$ の一致推定量
  である。なお分散の不偏推定量$(n/(n-1))s^2$ も同様に一致推定量であるこ
  とが同じようにして容易に証明される。  
\end{description}
  
 一致推定量の定義2の条件、 $n \to \infty$ のとき$E(\hat{\theta}) \to
 \theta$、$var(\hat{\theta}) \to 0$ が成り立てば、次の条件式の成り立つ
 ことが証明される(しかし証明は省略)。ただし$\epsilon$ は任意に小さい
 正の値とする。
 \begin{equation}
  \lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n-\theta| \ge \epsilon)=0 \label{63.4}  
\end{equation}
 条件(\ref{63.4})式は一致推定量の定義1の平方誤差の条件(\ref{63.3})式より
 もゆるい。条件(\ref{63.3})が成り立つためには二次積率の存在が必要である
 が、条件(\ref{63.4})はそれを必要としないから、適用の範囲が広く、従って
 より一般的な一致性の条件として使われてきた。この条件によると一致推定量
 は次の通り定義される。 

\begin{description}
  \item{{\bf 一致推定量の定義3}~~}
  任意の正の値$\epsilon$ に対して
  \[ \lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n-\theta| \ge \epsilon)=0      \]
  が成り立つとき、$\hat{\theta}_n$ を$\theta$ の一致推定量という。
\end{description}

簡単にいえば、標本の大きさが限りなく大となる時、ますます正確に母数に近付
くような推定量が一致推定量である。
 \begin{description}
   \item{{\bf 定理~~}  標本積率は母集団積率の一致推定量である。} (証明は省略)
 \end{description}
  
\subsubsection{効率(有効性)}
 \begin{description}
  \item{{\bf 効率の定義1}~~} 母数$\theta$ の二つの推定量を
  \[ \hat{\theta}_1=d_1(X_i),~~~~\hat{\theta}_2=d_2(X_i)
      ~~~~~~~~~~~~i=1,2,\cdots,n   \] 
  として、その危険関数を次の通りとする。
 \[  R(d_1;\theta) \le R(d_2;\theta)       \]
  このとき推定量$\hat{\theta}_1$ を$\hat{\theta}_2$ よりも{\bf 有効}で
  あるという。
 \begin{equation}
   e(d_1,d_2)=e(\hat{\theta}_1,\hat{\theta_2})
            =\frac{R(d_2;\theta)}{R(d_1;\theta)}
 \end{equation}
 を$\hat{\theta}_2$ に対する$\hat{\theta}_1$(あるいはより正確には$d_2$ 
 に対する$d_1$) の{\bf 相対効率}という。
 \item{{\bf 効率の定義2}~~}推定量が不偏で、かつその分散が他の不偏推定量の分散
 よりも小であるとき、この推定量を{\bf 最良不偏推定量}、あるいは{\bf 最
 有効推定量}という。
\end{description}

\subsection{点推定の方法}
母数推定の問題を前記のように統計的決定の問題として取り上げるならば、
問題に応じて適当な形の損失関数を設定し、適当な選択原理、例えばミニマクス
原理やベイズ理論等に基づいて推定方式を定める決定関数を求めるという順序で
問題を処理するのが正しい考え方である。ただし母数推定の基本原理としては、
ミニマクス原理にもベイズ原理にも種々の困難な問題が残されている(例えば
既述のように損失関数に平方誤差形式を仮定するときは、ミニマクス原理を
適用できないから損失関数になんらかの変更を加えることが必要である)。
以下では決定理論的な問題から離れて、点推定の伝統的な方法の主なものを
伝統的な接近方法で説明することにする。この際、推定方式の選択基準は、
推定量が以上で述べた諸標準をできるだけよく満足することである。
以下ではこれらの伝統的な方法のうち、{\bf 積率法}と{\bf 最大尤度法}
について説明する\footnote{{\bf 最小二乗法}もまた、多用されている伝統的方法
である。}。

\subsection{積率法}
点推定の方法のうち、母数推定の最も歴史の古い方法が積率法である。
積率法では、次の仮定がなされている。
\begin{enumerate}
 \item 母集団分布は$k$ 個の母数をもつ密度関数(離散変数のときは度数関数) \\
$f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$ で定められている。
 \item この母集団からの確率標本は、無作為抽出されたものとする。
       従って確率標本は、母集団の性質をよく表していると考える。
\end{enumerate}
 
これらを仮定し、母数$\theta_1,\theta_2,\cdots$ の推定量を求めることを
考える。積率は一般にこれらの母数の関数として示すことができる。即ち、
\[  \mu_i'=\mu_i'(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)       \]
である。いまこの母集団から大きさ$n$ の確率標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$
をとり、その最初の$k$ 次までの標本積率を$m_1',m_2',\cdots,m_k'$ とすると
\[ m_i'=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k       \]
である。積率法では次の$k$個の方程式
\begin{equation}
 m_i'=\mu_i'(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)
                  ~~~~~i=1,2,\cdots,k   \label{65.1} 
\end{equation}
を$\theta_i$ について解いて得られる解を母数の推定量$\hat{\theta}_i$ と
する。母集団積率が直ちに分布の母数であるときは、標本積率は直接にその
推定量となる。例えば平均値が分布の母数であるとき、標本の一次積率は
常に母平均の推定量である。
\begin{description}
 \item{例1} 積率法によって正規分布の母数、平均値と分散の推定量を求めよ。\\
  平均値と分散は分布と無関係に原点積率によって次の通り表現できる。
  \begin{eqnarray}
    \mu&amp;=&amp;\mu_1'  \nonumber  \\
   \sigma^2&amp;=&amp;\mu_2'-\mu_1'^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  従って最初の二次の原点積率を母数$\mu,~\sigma^2$ で表現すれば
  \begin{eqnarray}
    \mu_1'&amp;=&amp;\mu  \nonumber  \\
    \mu_2'&amp;=&amp;\sigma^2+\mu^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  となる。そこで$m_1'=\mu_1'$,~$m_2'=\mu_2'$ とおいて
  \begin{eqnarray}
    m_1'&amp;=&amp;\mu  \nonumber   \\
    m_2'&amp;=&amp;\sigma^2+\mu^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  この二式を$\mu$,~$\sigma^2$ について解いて推定量
  \begin{eqnarray}
    \hat{\mu}&amp;=&amp;m_1'=\frac{1}{n} \sum X  \nonumber \\
    \hat{\sigma}^2&amp;=&amp;m_2'-m_1'^2=\frac{1}{n} \sum (X^2)
                     -\left[\frac{1}{n} \sum (X) \right]^2 \nonumber \\
                  &amp;=&amp;\frac{1}{n} \sum (X-\bar{X})^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  を得る。ただし平均値と分散の推定についての以上の結果は、正規分布以外
  でも平均値と分散をもつ全ての分布について成り立つことは明らかである。
 \item{例2} ガンマ分布$f(x)=\lambda^n e^{-\lambda x} x^{n-1}/ \Gamma(n)$
    の母数$n$,~$\lambda$ の推定量を求めよ。  \\
  ガンマ分布では$\mu_1'=n/ \lambda$,$\mu_2'=(n(n+1))/ \lambda^2$ である。 
  よって
  \begin{eqnarray}
    m_1'&amp;=&amp;\frac{n}{\lambda}  \nonumber  \\
    m_2'&amp;=&amp;\frac{n(n+1)}{\lambda^2} \nonumber
  \end{eqnarray}
とおき、この二式を$n$,~$\lambda$ について解いて次の結果を得る。
   \begin{eqnarray}  	    
    \hat{n}&amp;=&amp;\frac{(m_1')^2}{m_2'-(m_1')^2}  \nonumber  \\
    \hat{\lambda}&amp;=&amp;\frac{m_1'}{m_2'-(m_1')^2} \nonumber
   \end{eqnarray}
\end{description}
以上の二例で明らかなように、積率法で得られる母数の推定量は標本積率$m_i'$
  の関数の形で与えられる。標本積率は母集団積率の一致推定量\footnote{
いま
\[  \hat{\theta}_n=d_n(X_1,X_2,\cdots,X_n)        \]
を大きさ$n$ の標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ に基づく推定量を示すものとす
る。このとき母数空間内のすべての$\theta$ に対して危険関数$R$ が
\[  \lim_{n \to \infty} R(d_n;\theta)
      =E[c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2]
      =c(\theta)E[(\hat{\theta}-\theta)^2]=0   \]
となるならば、推定量$\hat{\theta}$ は母数$\theta$ の{\bf 一致推定量}であ
  るという。}であるが\footnote{定理1 ~標本積率は母集団積率の一致推定量で
  ある。  \\
＜証明＞ 標本観察値を$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ とし、$Y_i=X_i^k$ とする。
母集団分布が積率を有するものと仮定すれば、$X$ は分散をもつから$Y$ もまた
分散をもつ。このとき大数の法則により、$n \to \infty$ のとき、任意に
小さい正の値$\epsilon$ に対して
\[  P(|\bar{Y}_n-E(Y)|&gt; \epsilon) \to 0.         \]
従って$n \to \infty$ のとき$\bar{Y}_n \to E(Y)$ である。ところで
$\bar{Y}_n=\frac{1}{n} \sum (X^k)=m_k'$、$E(Y)=E(X^k)=\mu_k$ であるから、
$n \to \infty$ のとき
\[  m_k'=\mu_k       \]
である。(証明終わり) \\
{\bf 大数の法則} $X$ を平均値$\mu$、分散$\sigma^2$ の母集団からの大きさ
$n$ の確率標本の標本平均値とすれば、$n \to \infty$ のとき、任意の正の
値$\epsilon$ に対して
\[    P(|\bar{X}-\mu| \geq \epsilon) \to 0  \] 
あるいは
\[ P(|\bar{X}-\mu| &lt; \epsilon) \to 1    \]
である。いいかえると$n \to \infty$ のとき$X$ は母平均$\mu$ に確率的に
収束する。}、
このような標本積率の関数もまた通常の場合可能な条件のもとで一致推定量で
あることが証明される。積率法による母数推定量は必ずしも有効
推定量ではないが、これを一次近似として更に効率の高い推定量を求める出発点
とすることができる。

\subsection{最大尤度法}
母数の推定方法として最も広く使用されているのが、最大尤度法である。
積率法と同様に、最大尤度法においても以下が仮定される。
\begin{enumerate}
 \item 母集団分布は$k$ 個の母数をもつ密度関数(離散変数のときは度数関数) \\
      $f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$ で定められている。
 \item この母集団からの確率標本は、無作為抽出されたものとする。
       従って確率標本は、母集団の性質をよく表していると考える。
\end{enumerate}
ここでは簡単のために母集団分布が一関数の密度関数(または度数関数)
$f(x;\theta)$ で定められているものとし、関数の形$f$ は既知であるが、
母数$\theta$ は未知で、その推定方法を考えるものとする。大きさ$n$ の
確率標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ が$n$ 個の一組の数値
$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ の内容で選ばれる確率密度(離散変数のときは確率)は
\begin{eqnarray}
  L(\theta)&amp;=&amp;f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta) \nonumber \\
           &amp;=&amp;f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)\cdots f(x_n;\theta) \label{65.2}
\end{eqnarray}
で与えられる。この確率密度は標本観察値$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ にも
依存しているが、同時に母集団を規定する母数$\theta$ にも依存している。
標本観察値$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ を与えられたものとしてみるとき、
この関数は母数$\theta$ の関数となり、このとき$L(\theta)$ を確率標本
$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ の{\bf 尤度関数}という\footnote{確率密度関数と
尤度関数とは、式の上では両者同じものにみえるが((\ref{65.2})式)、
変数値と固定値との関係がちょうど逆になっている。}。{\bf 最大尤度法}は
母数$\theta$ の変化に対して尤度関数$L(\theta)$ の値を最大にするような
統計量$\hat{\theta}$ (そのような統計量が存在するならば) を母数$\theta$
 の推定量として決定する方法である。即ち最大尤度法では、実際に観察された
結果としての標本の成立を最もよく説明するような母数$\theta$ の値
$\hat{\theta}$ を見出して、それを$\theta$ の推定量と定めるのである。
いいかえると標本観察値$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ を既に与えられたものと
して、$\theta$ を可能な範囲で変化させて考え、実際に観察されたような結果
(標本)が得られる確率密度$L(\theta)$ が最大となるような$\theta$ の値
$\hat{\theta}$ を求める。そして観察された標本の実現を最もよく説明する
$\hat{\theta}$ が定まれば、それが$\theta$ の真値であるときに最善と考えら
れる行動をとるのである。この行動は一定の損失関数に基づき、損失を最小に
するような方法で決定される。

%推定の問題の場合、損失関数は行動が$a=\theta$
% であるとき$l(a,\theta)=0$ となることが望ましいことは明らかである。
%このことは$\hat{\theta}$ が$\theta$ の真値であるとき、$\hat{\theta}$ を
%$\theta$ の推定値と決定する行動が最適であることを意味する。損失関数の
%平方誤差式$c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2$ はこのような性質を持ってい
%る。

\vspace{5mm}
観察標本$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ の最良の説明は標本そのものの内容に
依存するから、損失を最小にする$\hat{\theta}$ はまたこの標本観察値
$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ に依存する。従ってそれは観察標本の関数
(従って統計量)であり、標本観察の可能な種々の結果に一定の行動(推定値の
決定)を対応させる一つの決定関数である。

\begin{description}
\item{{\bf 最大尤度法についての定義}~~}
$L(\theta)$ が母集団$f(x;\theta)$ の確率標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$
 の尤度関数のとき、$L(\theta)$ を最大にする$\theta$ の値$\hat{\theta}$
 を母数$\theta$ の{\bf 最尤推定量}という。
\end{description}

確率標本の場合、尤度関数(\ref{65.2})式は標本観察値のおのおのに対する
確率密度関数の積である。従ってその最大値を求めるとき、そのままの形で
取り扱うよりも、次のような対数の形で取り扱った方がしばしば簡単である。
\begin{eqnarray}
  \log L(\theta)&amp;=&amp;\log \left[\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)\right] \nonumber \\
                &amp;=&amp;\sum_{i=1}^n \log f(x_i;\theta)
\end{eqnarray}
対数関数は単調増加であるから、$L(\theta)$ とその対数$\log L(\theta)$ と
は$\theta$ の同値で最大値をとる。よって$L(\theta)$ が微分可能のとき、
次の方程式({\bf 尤度方程式}という)
\begin{equation}
  \frac{d}{d\theta} \log L(\theta)=0
\end{equation}
ただし
\[ \frac{d^2}{d\theta^2} \log L(\theta)&lt;0   \]
を解いて得られる$\theta=\hat{\theta}$ が最尤推定量である。

\vspace{5mm}
母集団分布が二つ以上の母数を有し、それらが同時に推定の対象となるとき
\footnote{母数が二つ以上あっても、そのうちの一つが推定の対象で、他の母数
が全て既知として取り扱えるときは、既述の一母数の場合の方法で処理すること
ができる。}、尤度関数は
\[  L(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)
     =\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)    \]
であって、母数$\theta$ の最尤推定量
$\hat{\theta_1},\hat{\theta_2},\cdots,\hat{\theta_k}$ は次の連立方程式
を解くことによって決定される。
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial}{\partial\theta_1} 
     \log L(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)=&amp;0&amp; \nonumber  \\
                     \vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&amp;\vdots&amp;  \nonumber \\
  \frac{\partial}{\partial\theta_k}     
      \log L(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)=&amp;0&amp;
\end{eqnarray}

\begin{description}  \label{seiki-saiyui}
 \item{例} 正規分布の母数$\mu$,$\sigma^2$ の推定(連続分布、二母数の例)  \\
   分布の密度関数は
\[  f(x; \mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
                 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}            \]
であるから、尤度関数は次の形で示される。
\[ L(\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma^n(2\pi)^{n/2}}
                 e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum(X-\mu)^2},  \]

\begin{equation}
  \log L(\mu,\sigma^2)=-\frac{n}{2}\log (2\pi\sigma^2)
              -\frac{1}{2\sigma^2}\sum(X-\mu)^2.   \label{eq-yuido-seiki}  
\end{equation}
よって$\mu$,$\sigma^2$ の最大値は次の二つの方程式を解いて求められる。
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial}{\partial \mu}\log L&amp;=&amp;
              \frac{1}{\sigma^2}\sum(X-\mu)=0,  \nonumber  \\
 \frac{\partial}{\partial \sigma^2}\log L&amp;=&amp; 
        -\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma^4}\sum(X-\mu)^2=0. \nonumber    
\end{eqnarray}
第一式より
\[  \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum X=\bar{X}.       \]
これを第二式に代入して
\[  \hat{\sigma^2}=\frac{1}{n}\sum (X-\bar{X})^2=s^2            \]
が得られる。この結果で明らかなように分散の最尤推定量は不偏推定量ではない。
なお以上の計算の過程で明らかなように、平均値$\mu$ の推定値は分散
$\sigma^2$ の知識なしに定まるが、$\sigma^2$ の推定値は$\hat{\mu}$ の
値が定まった後でなければ定まらない。
\end{description}



\section{区間推定}
点推定の方法では最もよいと思われる推定値が一つ示されるだけで、その正確さ
についての表示は含まれていない。推定値の計算の基礎になっている標本の大き
さが分かれば、ある程度推定値の信頼度について判断することもできるが、正確
な判断をするためには誤差の理論をわきまえている必要がある。従って一般的に
いって推定値を示す場合、その信頼度に関して直接何らかの表示が望まれること
になる。

\vspace{5mm}
一つの方法は推定値の標準偏差を信頼度の表示として(このときこれを{\bf 標準
誤差}という)推定値に付記することである。この推定値の標準誤差は、理想的に
は母数$\theta$ と推定値$\hat{\theta}$ の差の二乗の期待値の平方根として
計算される。そして損失関数に平方誤差形式を考えるとき、それは推定値の信頼
度の最も適切な示し方である。しかしこの標準誤差の計算式は通常未知の母数
$\theta$ に依存しているため計算不能である。従って多くの場合大標本を仮定
して、この未知の母数の代わりにその標本からの推定値を用いて計算し、なおか
つそれを推定値の標準誤差と称している。標準誤差が信頼度の尺度として使用
されるのは、母数推定値の多くが(少なくとも近似的に)正規分布をすること、
そしてこのとき標準偏差は分布のばらつきの範囲を最も簡明に示し得ることに
基づいていると考えられる。

\begin{description}
 \item{例~~~平均値の推定の信頼度} \\
 標本平均値$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum(X)$ は母平均$\mu$ の最尤推定量で
 ある。母集団が分散$\sigma^2$ の正規分布のとき、$\bar{X}$ は平均値$\mu$、
 分散$\sigma^2/n$ で正規分布をする。母集団分布が正規でなくても、大標本の
 場合$\bar{X}$ は近似的に同様の正規分布をする。従って母分散$\sigma^2$ が
 既知ならば$\sigma/ \sqrt{n}$ を推定値$\bar{X}$ の標準誤差として使うこと
 ができる。$\sigma^2$ が未知でも$n$ が大であれば標本分散$s^2$ を$\sigma^2$
   の近似値として使って$\bar{X}$ の標準偏差が計算される。いずれにしても
 標本平均値$\bar{X}$ は母平均$\mu$ を中心にして(少なくとも近似的に)正規
 分布をするから、$\bar{X} \pm$ [標準誤差の$2$倍または$3$倍] の区間が
 母平均$\mu$ を含む確率はかなり大きいと考えてよい。
\end{description}
    
このように標準誤差は推定値のばらつきの範囲を示すという意味で信頼度の
表示として使用されているのであって、本来それによって示そうと意図されて
いることは、母数がその間に含まれることがほとんど確実であると考え得る
数値の範囲である。そしてこのことは直ちに次に述べる{\bf 区間推定}の考え方
に結びつく。

\vspace{5mm}
区間推定の考え方は、例えば母平均$\mu$ の推定値を次のような形で示す。
\[  P(\bar{X}-a&lt; \mu &lt; \bar{X}+b)=\gamma ~~~~a&gt;0, b&gt;0       \]
このとき区間$(\bar{X}-a&lt; \mu &lt; \bar{X+b})$ を母平均$\mu$ の{\bf 信頼区間}、
$\bar{X}-a, \bar{X}+b$ をそれぞれ{\bf 信頼限界}、$\gamma$ をその
{\bf 信頼係数}という。次にこの区間推定の方法を一般的な母数の推定に関して
説明する。

\subsubsection{信頼区間の意味}

%\begin{center}
% \begin{figure}[htbp]
%   \hspace{4cm}
%   \includegraphics[height=8cm,clip,angle=-90]{fig.6.4.just.cv.ps}
%    \caption{信頼区間について}
%   \label{shinraikukan}
%  \end{figure}
%\end{center}

\begin{figure}
     \begin{center}
       \resizebox{80mm}{!}{\includegraphics{fig.shinrai.eps}}
       \caption{信頼区間について}
       \label{shinraikukan}
     \end{center}
   \end{figure}

%\vspace{-1cm}
いま分布の与えられた母集団$f(x;\theta)$ からの大きさ$n$ の確率標本を
${X_1,X_2,\cdots,X_n}$ とし、この標本から計算される統計量を$T=t(X_1,X_2,
\cdots,X_n)$ とする。母集団分布$f(x;\theta)$ が分かっているから、
$\theta$ が与えられたとき、統計量$T$ の分布$g(t;\theta)$ もまた定まる。
このとき母数空間内の任意の$\theta$ に対して統計量$T$ が一定の区間
$(t_1,t_2)$ の中に含まれる確率$\gamma$ を計算することができ、逆に一定の
確率$\gamma$ に対して条件
\begin{equation}
  P(t_1&lt;T&lt;t_2)=\gamma   \label{66.1}
\end{equation}
を満たす$t_1,t_2$ を計算することも可能である。

\vspace{5mm}
一定の確率$\gamma$ に対して条件(\ref{66.1})を満たす区間$(t_1,t_2)$ の
決め方は幾通りも考えられる。区間推定の考え方からいうと間隔$t_2-t_1$ の
最も小さいものが望ましい。$T$ の分布が対称のときは、$t_1,t_2$ を$T$ の
期待値に対して対称にとるとき$t_2-t_1$ が最小となることは明らかである。
 
\vspace{5mm}
いま母数$\theta$ がある任意の値$\theta'$ のとき、条件(\ref{66.1})を満た
す統計量$T$ の値$t_1,t_2$ を
\[ P(T&lt;t_1)=P(t&gt;t_2)=\frac{1}{2}(1-\gamma)   \]
となるように定め、横軸に$\theta$、縦軸に$t$ をとってこの二点$t_1,t_2$ を
$\theta'$ の上の垂線上にとる。$\theta'$ は仮に定めた量であるから、母数
空間内の全ての$\theta$ に対して上記の条件を満たす$t_1,t_2$ を考えるとき、
明らかにそれは図\ref{shinraikukan}
の$C_1,C_2$ で示すような二本の曲線を作るであろう。
そして($C_1,C_2$ がいずれも単調で$\theta$ の変域内で交わらないとすれば)
$\theta$ がどのような値をとるにしても統計量$T$ がこの二本の曲線ではさま
れる区間$(t_1,t_2)$ の中に含まれる確率が$\gamma$ であることは明らかであ
る。幾何学的にいえば統計量$T=t$ の高さに引かれた水平線が線分$t_1t_2$ と
交わる確率は$\gamma$ である。

\vspace{5mm}
さて観察標本$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ に基づいて統計量$T$ の値$t_0$ が
得られたとする。$t_0$ を通る水平線を引き、曲線$C_1,C_2$ との交点を
それぞれ$\theta_1,\theta_2$ とする。線分$\theta_1\theta_2$ が線分
$t_1t_2$ と交われば、明らかに母数$\theta=\theta'$ は
区間$(\theta_1,\theta_2)$ に含まれる。
我々は母数$\theta$ の真値を
知らないが、線分$\theta_1\theta_2$ が線分$t_1t_2$ と交わる確率が$\gamma$
であることを知っている。
これは母数$\theta$ の値$\theta'$ が変域内のどこにあっても真である。
%よって母数$\theta$ の値いかんに関わらず、
%$\theta$ がこのようにして定められた区間$(\theta_1,\theta_2)$ の中に
%含まれる確率が$\gamma$ で与えられることは明らかである。
よって、$\theta_1,\theta_2$ は信頼係数$\gamma$ に対する母数$\theta$ の
信頼限界を与える
\footnote{以上では母集団分布を連続的と仮定して説明したが、離散変数の場合
も以上に準じて同じように考えることができる。このとき信頼限界を定める曲線は
分布曲線の場合と同様の階段状の線になる。以下では引続き連続変数の場合に
ついて説明を進める。}。

\vspace{5mm}
次に区間推定の方法を解析的に考えてみる。
図\ref{shinraikukan}で明らかなように、
%$t_1,t_2$ は母数$\theta$ の関数であるから
%\[  t_1=C_1(\theta)~~~~~t_2=C_2(\theta)         \]
%とかくことができる。逆に$\theta_1,\theta_2$ は$t$ の関数であって
%\[  \theta_1=C_1^{-1}(t)~~~~~\theta_2=C_2^{-1}(t)        \]
%とかける。故に
$t=C_1(\theta),C_2(\theta)$ の逆関数$\theta=C_1^{-1}(t),C_2^{-1}(t)$ を
求めることができれば、統計量$T$ の観察値から$\theta$ の信頼限界を計算
することができる。
これを整理すると次のようになる。
統計量$T$ の分布$g(t;\theta)$ が知られているとき、与えられた信頼係数
$\gamma$ に対して次の条件
\begin{equation}
 P[t_1(\theta)&lt;T&lt;t_2(\theta)]=\gamma   \label{66.2}   
\end{equation}
を満たす二数$t_1(\theta),t_2(\theta)$ が定まる。ここに$t_1(\theta),t_2
(\theta)$ は未知の母数$\theta$ に依存する値である。統計量$T$ が後に
述べるような条件を満たすとき、不等式$t_1(\theta)&lt;T&lt;t_2(\theta)$ を
$\theta$ について解いて次の形の不等式を定めることができる。
\begin{equation}
 \theta_2(t)&lt;\theta&lt;\theta_1(t)  \label{66.3}
\end{equation}
(\ref{66.2})式が成り立つとき、この不等式も同じく確率$\gamma$ で成り立つ
ことは明らかである。
%$\theta_1(t),\theta_2(t)$ は母数$\theta$ の信頼限界を与える。
統計量$T=t$ を標本観察値に基づいて計算し$\theta_1(t),
\theta_2(t)$ に代入すれば、信頼限界の値が計算される。この限界値は
統計量$T$ に依存しており、従って確率変数である。そしてこのような計算に
よって定まる区間$(\theta_1,\theta_2)$ が母数$\theta$ を含む確率が信頼
係数$\gamma$ である。いいかえると、信頼係数はこのような方法によって
計算される信頼区間が、真の母数$\theta$ を含むことに成功する確率である。
%従って計算された信頼区間が母数$\theta$ を含まない場合ももちろんあり得る
%わけである。

\vspace{5mm}
%図\ref{shinraikukan}で$\theta$ は未知ではあるがその位置は既に
%決まっている母数で、
%縦の線分はおのおの$n$ 個の観察値に基づいて標本毎に計算された信頼区間で
%あるとする。信頼係数が$95$\%であるという意味は、このように計算される
%信頼区間(線分)の$95$\%が母数$\theta$ の線と交わる(区間内に母数$\theta$ の
%真値を含む)ことを意味する。従って線分が$\theta$ の線に交わらない(推定が
%はずれる)場合も$5$\%はあるわけである。$95$\%という数字は確率変数である信頼
%区間$(\theta_1,\theta_2)$ に関する確率であって、母数$\theta$ に関する
%確率ではない。更にいいかえるならば、標本が選ばれ、信頼区間$(\theta_1,
%\theta_2)$ が具体的に算定される以前から、我々の決定しようとしていた区間
%が母数の真値$\theta$ を含む確率は$95$\%であったのであって、$95$\%という
%数字はいわばこのような推定方法自体に与えられた信頼度にほかならない。  
 
\subsection{正規母集団の平均値の区間推定}
母集団を平均値$\mu$、分散$\sigma^2$ の正規変数とし、分散$\sigma^2$ が
与えられているとして、未知の平均値$\mu$ の推定を考える。大きさ$n$ の
確率標本からの標本平均値を$\bar{X}$ とするとき
\[  Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}}         \]
が標準正規分布をすることは既知である。いま信頼係数を$\gamma=0.95$ と
すれば
\[  P(-1.96&lt;Z&lt;1.96)=0.95      \]
である\footnote{ここで $\pm 1.96$ は信頼係数 $\gamma=0.95$ のときの
標準正規分布の信頼限界である。この値は計算や数表によって求めることができ
る。}。括弧内の不等式の$Z$ を上式で置き換えれば
\[  -1.96&lt;\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}}&lt;1.96   \]
となる。この不等式を母数$\mu$ について解いて次の不等式を得る。
\begin{equation}
 \bar{X}-1.96 \sigma / \sqrt{n} &lt; \mu 
       &lt; \bar{X}+1.96 \sigma/ \sqrt{n}    \label{66.4}
\end{equation}
この式は信頼係数$95$\%に対する母平均$\mu$ の信頼限界を与える。

\vspace{5mm}
次に母集団を平均値$\mu$、分散$\sigma^2$ が未知の正規変数とし、
未知の平均値$\mu$ の推定を考える。先の例では母分散$\sigma^2$ を既知と
したが、実際の場合$\sigma^2$ は母平均$\mu$ と同様におおむね未知である。
このとき上の信頼限界は母数$\sigma$ を含んでいるから計算不能である。
$n$ が大ならば標本標準偏差$s$ を$\sigma$ の近似値として代用できるが、
$n$ が小であるときは誤差が大きくなる。しかしこのような場合、我々は統計量
\[ t=\frac{\bar{X}-\mu}{s/ \sqrt{n-1}}     \]
が自由度$n-1$ の$t$ 分布変数であることを知っている。従って次の条件
\[ P(t_1&lt;t&lt;t_2)=0.95       \]
を満足する$t_1,t_2$ を計算することは可能である。このとき括弧内の不等式は
次のような形になる。
\[ -t_{0.95}&lt; \frac{\bar{X}-\mu}{s/ \sqrt{n-1}} &lt;+t_{0.95}.         \]
ただし$t_{0.95}$ は$t$ 分布表から信頼係数$\gamma=0.95$、自由度$n-1$ に
対して得られる定数である。この不等式を$\mu$ について解いて母平均$\mu$
  の信頼限界が次の通り計算される。
\begin{equation}
 \bar{X}-t_{0.95} \frac{s}{\sqrt{n-1}}&lt; \mu &lt;
     \bar{X}+t_{0.95} \frac{s}{\sqrt{n-1}}.  \label{66.5}
\end{equation}

\subsection{正規母集団の分散の区間推定}
ここでは、母集団を分散$\sigma^2$ の正規変数とし、未知の分散$\sigma^2$ 
の推定を考える。
\ref{sub-chi}節のカイ二乗分布に関する「定理」でみたように、分散
$\sigma^2$ の正規母集団からの大きさ$n$ の標本から計算された標本分散を
$s^2$ とすれば、$ns^2/ \sigma^2$ は自由度$n-1$ のカイ二乗分布をする。
よって信頼係数を$\gamma$ として、条件
\[  P\left(\chi_a^2 &lt; \frac{ns^2}{\sigma^2} &lt; \chi_b^2 \right)=\gamma     \]  
を満たす値$\chi_a^2,\chi_b^2$ を定めることができる。括弧の中の不等式を
母数$\sigma^2$ について解けば、$\sigma^2$ の信頼限界が
\begin{equation}
 \frac{ns^2}{\chi_b^2} &lt; \sigma^2 &lt; \frac{ns^2}{\chi_a^2}
\end{equation}
の形で与えられる。ただし$\chi_a^2,\chi_b^2$ の値の決め方によって信頼区間
の幅
\[  \frac{ns^2}{\chi_a^2}-\frac{ns^2}{\chi_b^2}    \]
は一様ではない。この幅が最小であるためには$1/ \chi_a^2-1/ \chi_b^2$ が
最小でなければならない。本来、カイ二乗分布は非対称であるが、
$n \to \infty$ のとき正規分布となるので、簡単のために対称と考えて
以下のようにするとよい。
$n$ が極めて小さい値でなければ
\[ P\left(\frac{ns^2}{\sigma^2}&lt; \chi_a^2 \right)
    =P\left(\frac{ns^2}{\sigma^2} &gt; \chi_b^2 \right)
    =\frac{1}{2}(1-\gamma)    \]
となるように$\chi_a^2,\chi_b^2$ を定める。これで最適解に近い
信頼区間が容易に得られる。

\vspace{5mm}
以下は細かい話である。
区間推定の上記の方法がどのような母数の推定に対しても常に可能であるとは
限らない。例えば先の例で、母分散$\sigma^2$ が所与の場合、母平均$\mu$ の
信頼限界を計算するために我々は統計量$Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma/ \sqrt{n})$
 を利用した。ここで$\sigma$ は既知であるから、未知の母数は推定の対象であ
る$\mu$ だけである。しかもこの統計量$Z$ は母数$\mu$ に関係なく平均値$0$、
分散$1$ の標準正規分布をする。なおこの統計量を定める$\bar{X}$ は充足統計
量\footnote{{\bf 充足統計量の定義}~~統計量$T$ が母数$\theta$ に関して
標本${X_1,X_2,\cdots,X_n}$のもつ情報のすべてを含むとき、この統計量を
{\bf 充足統計量}という。 \\ 
統計量
$T$ が母数$\theta$ に対して充足であるか否かは次の標準で判定することがで
きる。\\
{\bf 充足統計量に関する定理} 標本$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ の確率密度を
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ とするとき、この密度関数が次の形
\begin{equation}
  f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta)=g(t;\theta)h(x_1,x_2,\cdots,x_n)
\end{equation}
に因数分解することができれば、統計量$T=t(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ は
母数$\theta$ に対して充足である。}であ
る。このように区間推定が
上記の方法で解析的に可能であるためには、次のような性質を持つ統計量を
見出すことが必要である。
\begin{description}
 \item{(1)~それが充足統計量を通じて標本観察値と関係していること。}
 \item{(2)~推定の対象である母数以外に(未知の)母数を含まないこと。}
 \item{(3)~母数の値に関係なく一定の分布を有すること。}
\end{description}
統計量がこの三条件を備えているとき、この統計量を{\bf かなめ量}という。
母数の区間推定で$\sigma^2$ が未知の場合に使用した統計量$t=(\bar{X}-\mu)
/(s/ \sqrt{n-1})$ も自由度$n-1$ の$t$ 分布変数であるから上の諸条件を
満たしている。このようなかなめ量が存在するとき、不等式(\ref{66.2})から
不等式(\ref{66.3})への転換が解析的に可能である。

\vspace{5mm}
このような条件を満たすかなめ量が得られないときは、信頼区間の決定は
別の方法によって行わなければならない。いま(\ref{66.2})の条件式
\[  P[t_1(\theta) &lt; T &lt; t_2(\theta)]=\gamma    \]
を次の形で定める。
\begin{equation}
 P[T&lt;t_1(\theta)]=P[T&gt;t_2(\theta)]=\frac{1}{2}(1-\gamma). \label{66.7}
\end{equation}
母数$\theta$ が例えば$\theta'$ という値をとるとき、この条件は次のことを
意味する。
\begin{eqnarray}
  \int_{-\infty}^{t_1(\theta')} g(t;\theta')dt
          &amp;=&amp;\frac{1}{2}(1-\gamma)  \nonumber  \\
  \int_{t_2(\theta')}^\infty g(t;\theta')dt
          &amp;=&amp;\frac{1}{2}(1-\gamma)  \label{66.8} 
\end{eqnarray}
この式は$\theta'$ が$\theta$ の変域内にある限り常に当てはまる。ところで
図\ref{shinraikukan}で明らかなように、
\begin{eqnarray}
    \theta&amp;=&amp;\theta_1 のとき ~~~~t_1(\theta_1)=t_0  \nonumber \\
    \theta&amp;=&amp;\theta_2 のとき ~~~~t_2(\theta_2)=t_0  \nonumber
\end{eqnarray}
である。そして(\ref{66.7})で定めたように
\[  P[T&lt;t_1(\theta_1)]=P[T&gt;t_2(\theta_2)]=\frac{1}{2}(1-\gamma)     \]
であるから、次の式の成り立つことも明らかである。
\begin{eqnarray}
  \int_{-\infty}^{t_0} g(t;\theta_1)dt&amp;=&amp;\frac{1}{2}(1-\gamma) \nonumber \\
  \int_{t_0}^\infty g(t;\theta_2)dt&amp;=&amp;\frac{1}{2}(1-\gamma) \label{66.9}
\end{eqnarray}
この式を$\theta_1,\theta_2$ について解くことができれば、信頼係数$\gamma$ 
  に対する信頼区間 \\
$(\theta_1 &gt; \theta &gt; \theta_2)$ を定めることができる。

\vspace{5mm}
以上では連続変数の場合について述べたが、離散変数の場合についても同様に
この方法が可能であって、離散変数の場合には特にこの方法が有用である。

                                                        



























































</pre></body></html>