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EP-Flux とTEM 系の運動方程式

Andrews et al(1987)における球面上の EP-Flux は次のように定義される.
\begin{displaymath}\left.
\begin{array}{cl}
F_y =& \rho_0 a \cos \phi \left(\ove...
...{\DP{\theta}{z}}} - \overline{u'w'}\right).
\end{array}\right\}\end{displaymath}     (1.1)

$ F_y, F_z$がそれぞれ EP-Flux の緯度成分, および鉛直成分である. $ \bar{\star}$は東西平均量, $ \star'$は東西平均量からの擾乱成分を表す. ここで, $ u, v, w, \theta$はそれぞれ東西風速, 南北風速, 鉛直風速, 温位である. また$ z, \phi$は高度および緯度, $ a$は惑星半径(定数), $ \rho_0$は参照密度プロファイル, $ f$はコリオリパラメータで自転角速度$ \Omega $を用いて $ 2\Omega\sin\phi$と定義する. 一方, 本モジュールでは次式で定義される量 $ \hat{F_y}, \hat{F_z}$を EP-Flux と呼ぶ.
\begin{displaymath}\left.
\begin{array}{cl}
\hat{F_y} =& \sigma \cos \phi \left(...
...e{\DP{\theta}{z}}} - \overline{u'w'}\right)
\end{array}\right\}\end{displaymath}     (1.2)

ここで$ \sigma$ は圧力に比例する無次元量で, 大気の参照密度に相当する量である.

$\displaystyle \sigma \equiv \frac{p}{p_{00}} = \exp\left(\frac{-z}{H}\right),$ (1.3)

$ H$は圧力対数座標におけるスケールハイト(定数)である. (1.1)式との違いは
  1. 惑星半径$ a$がかかっていない(惑星半径で規格化している)
  2. 参考密度プロファイル$ \rho_0$の代わりにそれに比例する無次元量$ \sigma$を用いている
である. $ \sigma$$ \rho_0$の次元の違いを無視すれば$ F_y, F_z$ $ \hat{F_y}, \hat{F_z}$は以下のように関係付けられる.

$\displaystyle (F_y, F_z) = a(\hat{F_y}, \hat{F_z})$ (1.4)

球面上の発散は以下の形で定義する.

$\displaystyle \Ddiv{\hat{\Dvect{F}}} = \Dinv{a \cos \phi} \DP{F_y \cos \phi}{\phi} + \DP{F_z}{z}$ (1.5)

また残差循環 $ (0, \bar{v}^*, \bar{w}^*)$を以下の形で定義する.

$\displaystyle \overline{v}^*$ $\displaystyle \equiv \bar{v} 
 - \Dinv{\sigma}\DP{}{z}\left(\sigma\frac{\overline{v'\theta'}}
 {\overline{\DP{\theta}{z}}}\right)$ (1.6)
$\displaystyle \overline{w}^*$ $\displaystyle \equiv \bar{w} 
 + \Dinv{a \cos\phi}\DP{}{\phi}\left(\cos\phi\frac{\overline{v'\theta'}}
 {\overline{\DP{\theta}{z}}}\right)$ (1.7)

これより変形オイラー平均(TEM)系の流体の運動方程式は

$\displaystyle \DP{\bar{u}}{t} + \bar{v}^*
 \left[
 \Dinv{a\cos\phi}\DP{(\bar{u}...
...ar{w}^*\DP{\bar{u}}{z} - \bar{X} = \Dinv{\sigma \cos\phi}\Ddiv{\hat{\Dvect{F}}}$ (1.8)

と書ける. 右辺において, 惑星半径$ a$で割っていないところが通常の TEM 系の運動方程式と異なるところであるが, $ \hat{\Dvect{F}}=(\hat{F_y}, \hat{F_z})$が惑星半径で規格化した EP-Flux であることを考慮すれば納得されるだろう. このように, 右辺の量は一般的に定義される TEM 系の運動方程式同様に加速を意味することになる.
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Tsukahara Daisuke 平成16年11月2日