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パターン 1: W, 温度, z 座標

テスト用の関数を以下で定義する.

$\displaystyle u(\lambda, \phi, z)$ $\displaystyle = \sin \lambda \cos \phi + 10 + z,$    
$\displaystyle v(\lambda, \phi, z)$ $\displaystyle = 2\sin \lambda \cos \phi + 20,$    
$\displaystyle w(\lambda, \phi, z)$ $\displaystyle = 3\sin \lambda \cos \phi + 30,$    
$\displaystyle T(\lambda, \phi, z)$ $\displaystyle = 4\sin \lambda \cos \phi + 40 ,$    

ここで $ u$ は東西風速[m/s], $ v$ は南北風速[m/s], $ w$ は鉛直速度[m/s], $ T$ は温度[K], ( $ \lambda, \phi$)は経度および緯度, そして$ z$は高度[m]とする. $ u, v, T, \omega$ それぞれの東西平均および擾乱成分は

$\displaystyle \overline{u}$ $\displaystyle = 10 + z,$    
$\displaystyle \overline{v}$ $\displaystyle = 20,$    
$\displaystyle \overline{w}$ $\displaystyle = 30,$    
$\displaystyle \overline{\theta}$ $\displaystyle = 40\left(\frac{p_{00}}{p}\right)^\kappa,$    
  $\displaystyle = 40\exp\left( \frac{\kappa z}{H} \right),$    
$\displaystyle {u'}$ $\displaystyle = \sin \lambda \cos \phi,$    
$\displaystyle {v'}$ $\displaystyle = 2\sin \lambda \cos \phi,$    
$\displaystyle {w'}$ $\displaystyle = 3\sin \lambda \cos \phi,$    
$\displaystyle {\theta'}$ $\displaystyle = 4\sin \lambda \cos \phi\exp\left( \frac{\kappa z}{H} \right)$    

とかける. これらより渦運動量フラックス, 渦熱フラックスはそれぞれ

$\displaystyle \overline{u'v'}$ $\displaystyle = \Dinv{2\pi} \int_0^{2\pi} 2 \sin^2 \lambda \cos^2 \phi \Dd \lambda\notag$    
  $\displaystyle = \cos^2 \phi\notag$    
$\displaystyle \overline{v'\theta'}$ $\displaystyle = \Dinv{2\pi} \int_0^{2\pi}
 8\sin^2 \lambda \cos^2 \phi\exp\left( \frac{\kappa z}{H} \right) \Dd \lambda,$    
  $\displaystyle = 4 \cos^2 \phi\exp\left(\frac{z \kappa}{H}\right),$    
$\displaystyle \overline{u'w'}$ $\displaystyle = \Dinv{2\pi} \int_0^{2\pi} 3 \sin^2 \lambda \cos^2 \phi \Dd \lambda$    
  $\displaystyle = 1.5 \cos^2 \phi$    

となる. また $ \overline{\DP{u}{z}}$および $ \overline{\DP{\theta}{z}}$

$\displaystyle \overline{\DP{u}{z}}$ $\displaystyle = 1$    
$\displaystyle \overline{\DP{\theta}{z}}$ $\displaystyle = \frac{40 \kappa}{H}\exp\left( \frac{\kappa z}{H} \right)$ (2.18)

となる. コリオリパラメータ$ f$

$\displaystyle f = 2 \Omega \sin \phi$ (2.19)

で定義される. ここで$ \Omega $は自転角速度である. これより絶対渦度の東西平均値は

$\displaystyle M$ $\displaystyle = f - \frac{\DP{\overline{u}\cos\phi}{\phi}}{a\cos\phi}$ (2.20)
  $\displaystyle = f + \frac{10 + z}{a}\tan\phi$ (2.21)

とかける. これらを用いて Eliassen-Palm Flux は

$\displaystyle F_y$ $\displaystyle = \exp\left(\frac{-z}{H}\right) \cos \phi 
 \left( \frac{
 4 \cos...
...{ \frac{40\kappa}{H}\exp\left(\frac{\kappa z}{H}\right) } - \cos^2 \phi \right)$    
  $\displaystyle = \exp\left(\frac{-z}{H}\right) \cos^3 \phi \left( \frac{H}{10\kappa} - 1 \right),$ (2.22)
$\displaystyle F_z$ $\displaystyle = \exp\left(\frac{-z}{H}\right) \cos \phi \left(
 \left[ f + \fra...
...rac{40\kappa}{H}\exp\left(\frac{\kappa z}{H}\right) } - 1.5 \cos^2 \phi \right)$    
  $\displaystyle = \exp\left(\frac{-z}{H}\right) \cos^3 \phi 
 \left( \left[ f + \frac{10 + z}{a}\tan\phi \right] \frac{H}{10\kappa} - 1.5 \right)$ (2.23)

とかける. また(F$ _y$, F$ _z$)の発散は

$\displaystyle \Ddiv(F)$ $\displaystyle = \Dinv{a \cos \phi}\DP{F_y}{\phi} + \DP{F_z}{z}$    
  $\displaystyle = \frac{-4}{3a}\exp\left(\frac{-z}{H}\right)\cos^3 \phi \left\{ \frac{4 p}{300 \kappa} + 1 \right\}$    
  $\displaystyle -\Dinv{H} \exp\left(\frac{-z}{H}\right) \cos \phi \left(
 \left( ...
...tan\phi \right)
 \frac{
 4 \cos^2\phi}
 {300*\kappa } - 1.5 \cos^2 \phi \right)$    
  $\displaystyle -\Dinv{H} \frac{4\cos^3\phi p}{300\kappa} \exp\left(-\frac{z}{H}\right)$ (2.24)

となる. 残差循環は(1.9),(1.10)よりそれぞれ

$\displaystyle \overline{v}^*$ $\displaystyle = 
 20 - \Dinv{\sigma}\DP{}{z}
 \left(
 \sigma\frac{4\cos^2\phi\exp\frac{z\kappa}{H}}
 {\frac{40 \kappa}{H}\exp\frac{\kappa z}{H}}
 \right)$    
  $\displaystyle = 
 20 - \Dinv{\exp\left(-\frac{z}{H}\right)}\DP{}{z}
 \left(
 H\exp\left(-\frac{z}{H}\right)\frac{\cos^2\phi}
 {10 \kappa}
 \right)$    
  $\displaystyle =
 20 - \Dinv{\exp\left(-\frac{z}{H}\right)}
 \left(
 H\cdot-\Dinv{H}\exp\left(-\frac{z}{H}\right)\frac{\cos^2\phi}
 {10 \kappa}
 \right)$    
  $\displaystyle =
 20 + \frac{\cos^2\phi}{10 \kappa},$ (2.25)
$\displaystyle \overline{w}^*$ $\displaystyle = 
 30 + \Dinv{a\cos\phi}\DP{}{\phi}
 \left(
 \cos\phi\frac{4\cos^2\phi\exp\frac{z\kappa}{H}}
 {\frac{40 \kappa}{H}\exp\frac{\kappa z}{H}}
 \right)$    
  $\displaystyle = 
 30 + \Dinv{a\cos\phi}\DP{}{\phi}
 \left(
 H\frac{\cos^3\phi}
 {10 \kappa}
 \right)$    
  $\displaystyle =
 30 + \Dinv{a\cos\phi}
 \left(
 H\frac{-3\cos^2\phi\sin\phi}
 {10 \kappa}
 \right)$    
  $\displaystyle =
 30 - \frac{3H\sin\phi\cos\phi}{10 a \kappa}.$ (2.26)

(1.15)と(2.23)から質量流線関数$ \Psi^*$

$\displaystyle \Psi^* = \frac{2\pi a \cos\phi}{g}
 \left(20 + \frac{\cos^2\phi}{10\kappa}\right)p$ (2.27)

と書ける.
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Tsukahara Daisuke 平成16年11月2日