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3 支配方程式・力学過程

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\setcounter{footnote}{8}\fnsymbol{footnote} 88

0.4 はじめに

この章では支配方程式を離散化する. 空間に関する離散化である鉛直離散化と水平離散化の方法 並びに時間に関する離散化について記す. 8% latex2html id marker 7276
\setcounter{footnote}{8}\fnsymbol{footnote} 88

0.5 鉛直離散化

ここでは支配方程式を鉛直方向に離散化する. Arakawa and Suarez(1983) に従って, 基礎方程式を鉛直方向に差分によって離散化する9. 各方程式の離散化表現は次のようになる.

0.5.1 連続の式, 鉛直速度


\begin{displaymath}
\frac{\partial \pi}{\partial t}
= - \sum_{k=1}^{K} ( D_k + \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi )
\Delta \sigma_k
\end{displaymath} (21)


\begin{displaymath}
\dot{\sigma}_{k-1/2}
= - \sigma_{k-1/2} \frac{\partial \pi...
...}^{K} ( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi )
\Delta \sigma_l
\end{displaymath} (22)


\begin{displaymath}
\dot{\sigma}_{1/2} = \dot{\sigma}_{K+1/2} = 0
\end{displaymath} (23)

0.5.2 静水圧の式


$\displaystyle \Phi_{1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Phi_{s} + C_{p} ( \sigma_{1}^{-\kappa} - 1 ) T_{v,1}$ (24)
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Phi_{s} + C_{p} \alpha_{1} T_{v,1}$  


$\displaystyle \Phi_k - \Phi_{k-1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle C_{p}
\left[ \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_k } \right)^{...
...eft( \frac{ \sigma_{k-1/2} }{ \sigma_{k-1} } \right)^{\kappa}
\right] T_{v,k-1}$ (25)
  $\textstyle =$ $\displaystyle C_{p} \alpha_k T_{v,k} + C_{p} \beta_{k-1} T_{v,k-1}$  

ここで,
$\displaystyle \alpha_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} }
{ \sigma_k } \right)^{\kappa} -1$ (26)
$\displaystyle \beta_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle 1- \left( \frac{ \sigma_{k+1/2} }
{ \sigma_k } \right)^{\kappa} .$ (27)

0.5.3 運動方程式


\begin{displaymath}
\frac{\partial \zeta_k}{\partial t}
= \frac{1}{a(1-\mu^{2...
...partial (\mbox{\sl UA})_k}{\partial \mu}
+ {\cal D}(\zeta_k)
\end{displaymath} (28)


\begin{displaymath}
\frac{\partial D}{\partial t}
= \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
\...
...ppa}_k \bar{T}_k \pi
+ (\mbox{\sl KE})_k )
+ {\cal D}(D_k)
\end{displaymath} (29)

ここで,
$\displaystyle (\mbox{\sl UA})_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle ( \zeta_k + f ) V_k
- \frac{1}{2 \Delta \sigma_k}
[ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( U_{k-1} - U_k )
+ \dot{\sigma}_{k+1/2} ( U_k - U_{k+1} ) ]$  
    $\displaystyle - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a}
\frac{\partial \pi}{\partial \lambda}
+ F_{\lambda k} \cos \varphi$ (30)


$\displaystyle (\mbox{\sl VA})_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle - ( \zeta_k + f ) U_k
- \frac{1}{2 \Delta \sigma_k}
[ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( V_{k-1} - V_k )
+ \dot{\sigma}_{k+1/2} ( V_k - V_{k+1} ) ]$  
    $\displaystyle - \frac{C_{p} \hat{\kappa}_k T_{v,k}'}{a}
( 1 - \mu^{2} ) \frac{\partial \pi}{\partial \mu}
+ F_{\varphi k} \cos \varphi$ (31)

ここで,
$\displaystyle \hat{\kappa}_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \sigma_{k-1/2}( \sigma^{\kappa}_{k-1/2}
- \sigma^{\kappa}_...
...^{\kappa}_{k+1/2} ) }
{ \sigma^{\kappa}_k
( \sigma_{k-1/2} - \sigma_{k+1/2} ) }$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \sigma_{k-1/2} \alpha_k + \sigma_{k+1/2} \beta_k }
{ \Delta \sigma_k }$ (32)


\begin{displaymath}
T_{v,k} = T_k - \bar{T}_k
\end{displaymath} (33)


\begin{displaymath}
(\mbox{\sl KE})_k = \frac{U^{2}_k+V^{2}_k}{2(1-\mu^{2}) }
\end{displaymath} (34)

0.5.4 熱力学の式


$\displaystyle \frac{\partial T_k}{\partial t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
\frac{\partial U_k T_k'}{\partial \lambda}
- \frac{1}{a}
\frac{\partial V_k T_k'}{\partial \mu}
+ \hat{H}_k$  
    $\displaystyle + \frac{Q_k}{C_{p}}
+ {\cal D}(T_k)
+ {\cal D}'(\Dvect{v})$  

ここで,
$\displaystyle \hat{H}_k$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle T_k' D_k
- \frac{1}{\Delta \sigma_k}
[ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T}_{k-1/2} - T_k )
+ \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T_k - \hat{T}_{k+1/2} ) ]$  
    $\displaystyle + \left\{ \alpha_k
\left[ \sigma_{k-1/2} \Dvect{v}_k \cdot \nabla...
...l=k}^{K}
( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi )
\Delta \sigma_l
\right]
\right.$  
    $\displaystyle + \left. \beta_k
\left[ \sigma_{k+1/2} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \...
...\nabla \pi )
\Delta \sigma_l
\right]
\right\}
\frac{1}{\Delta \sigma_k} T_{v,k}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle T_k' D_k
- \frac{1}{\Delta \sigma_k}
[ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T}_{k-1/2} - T_k )
+ \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T_k - \hat{T}_{k+1/2} ) ]$  
    $\displaystyle + \hat{\kappa}_k \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi T_{v,k}$  
    $\displaystyle - \alpha_k \sum_{l=k}^{K}
( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi )
\Delta \sigma_l
\frac{T_{v,k}}{\Delta \sigma_k}$  
    $\displaystyle - \beta_k \sum_{l=k+1}^{K}
( D_l + \Dvect{v}_l \cdot \nabla \pi )
\Delta \sigma_l
\frac{T_{v,k}}{\Delta \sigma_k}$ (35)


$\displaystyle \hat{T}_{k-1/2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \left[ \left( \frac{ \sigma_{k-1/2} }
{ \sigma_k } \right)...
...ight] \sigma_k^{\kappa} T_{k-1} }
{ \sigma_{k-1}^{\kappa} - \sigma_k^{\kappa} }$ (36)
  $\textstyle =$ $\displaystyle a_k T_k + b_{k-1} T_{k-1}$ (37)


$\displaystyle a_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle \alpha_k
\left[ 1- \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k-1} }
\right)^{\kappa} \right]^{-1}$ (38)
$\displaystyle b_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle \beta_k
\left[ \left( \frac{ \sigma_k }{ \sigma_{k+1} }
\right)^{\kappa} - 1 \right]^{-1} .$ (39)

0.5.5 水蒸気の式


\begin{displaymath}
\frac{\partial q_k}{\partial t}
= - \frac{1}{a(1-\mu^{2})}...
...al V_k q_k}{\partial \mu}
+ R_k
+ S_{q,k}
+ {\cal D}(q_k)
\end{displaymath} (40)


\begin{displaymath}
R_k = q_k D_k
- \frac{1}{2 \Delta \sigma_k}
[ \dot{\sigm...
... ( q_{k-1} - q_k )
+ \dot{\sigma}_{k+1/2} ( q_k - q_{k+1} ) ]
\end{displaymath} (41)

9% latex2html id marker 7357
\setcounter{footnote}{9}\fnsymbol{footnote} 99

0.6 水平離散化

ここでは支配方程式を水平離散化する. 水平方向の離散化はスペクトル変換法を用いる(Bourke, 1988). 経度, 緯度に関する微分の項は直交関数展開によって評価し, 一方, 非線型項は格子点上で計算する. 各方程式のスペクトル表現は以下のようになる.

0.6.1 連続の式


$\displaystyle \DP{\tilde{\pi}_n^m}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \sum_{k=1}^{K} (\tilde{D}_n^m)_k \Delta \sigma_k$  
    $\displaystyle + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
Z_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j ,$ (42)

ここで,
\begin{displaymath}
Z \equiv - \sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi .
\end{displaymath} (43)

0.6.2 運動方程式


$\displaystyle \DP{\tilde{\zeta}_n^m}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
im (\mbox{\sl VA})_{ij}
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
(\mbox{\sl UA})_{ij}
(1...
...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{\zeta}_n^m ,$ (44)


$\displaystyle \DP{\tilde{D}_n^m}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
im (\mbox{\sl UA})_{ij}
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
  $\textstyle -$ $\displaystyle \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
(\mbox{\sl VA})_{ij}
(1...
...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
  $\textstyle -$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{a^{2}}
\frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
(\mbox{\sl KE})_{ij}
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
w_j$  
  $\textstyle +$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{a^{2}}
( \Phi_n^m + C_{p} \hat{\kappa}_k \bar{T}_k \pi_n^m )
+ \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{D}_n^m ,$ (45)

ただし,
\begin{displaymath}
\tilde{\cal D}_{M,n}^m = - K_{HD} \left[
\left( \frac{-n(n...
...\right)^{N_D/2}
- \left( \frac{2}{a} \right)^{N_D}
\right] .
\end{displaymath} (46)

0.6.3 熱力学の式


$\displaystyle \DP{\tilde{T}_n^m}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
im U_{ij} T'_{ij}
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
V_{ij} T'_{ij}
(1-\mu...
...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
\left( \hat{H}_{ij} + \frac{Q_{ij}}{C_{p}} \right)
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
w_j$  
    $\displaystyle + \tilde{\cal D}_{H,n}^m \tilde{T}_n^m$  
    $\displaystyle + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
{\cal D}'_{ij}(\Dvect{v})
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
w_j ,$ (47)

ただし,
\begin{displaymath}
\tilde{\cal D}_{H,n}^m
= - K_{HD} \left( \frac{-n(n+1)}{a^{2}} \right)^{N_D/2} .
\end{displaymath} (48)

0.6.4 水蒸気の式


$\displaystyle \DP{\tilde{q}_n^m}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
im U_{ij} q_{ij}
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
V_{ij} q_{ij}
(1-\mu_...
...rtial }{\partial \mu} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
\frac{w_j}{a(1-\mu_j^{2})}$  
    $\displaystyle + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}
\left( \hat{R}_{ij} + S_{q,ij} \right)
Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j )
w_j$  
    $\displaystyle + \tilde{\cal D}_{H,n}^m \tilde{q}_n^m$ (49)

9% latex2html id marker 7404
\setcounter{footnote}{9}\fnsymbol{footnote} 99

0.7 時間積分

ここでは時間積分スキームについて記す.

時間差分スキームは基本的に leap frog である. ただし, 拡散項および物理過程の項は後方差分もしくは前方差分とする. 計算モードを抑えるために時間フィルター(Asselin, 1972)を用いる. さらに$\Delta t$ を大きくとるために, 重力波の項に semi-implicit の手法を適用する(Bourke, 1988).

0.7.1 leap frog による時間積分と時間フィルター

移流項等の時間積分スキームとして leap frog を用いる. 水平拡散項には $2 \Delta t$ の後方差分を使用する. 物理過程の項( ${\cal F}_\lambda, {\cal F}_\varphi, Q, S_q$)には $2 \Delta t$ の前方差分を使用する. ただし, 鉛直拡散の時間変化項の計算に関しては後方差分的な取扱いをする. また, 対流・凝結過程に関しては 一度それらを考慮せずに時間積分して, その後で場を修正するという形式をとる(adjustment). 摩擦熱の項も補正として扱う.

各予報変数の総体を ${\cal A}$ と表すと,

\begin{displaymath}
\hat{\cal A}^{t+\Delta t}
= \bar{\cal A}^{t-\Delta t}
+ ...
...t
\dot{\cal A}_{phy}\left( \bar{\cal A}^{t-\Delta t} \right)
\end{displaymath} (50)

$ \dot{\cal A}_{adv} $ は移流項等, $ \dot{\cal A}_{dif} $ は水平拡散項, $ \dot{\cal A}_{phy} $ は物理過程等による項である.

$ \hat{\cal A}^{t+\Delta t} $ には, 摩擦熱( $ \dot{\cal A}_{dis} $)および 対流・凝結過程( $ \dot{\cal A}_{cnd} $)の補正が加えられ, $ {\cal A}^{t+\Delta t} $ となる.

\begin{displaymath}
{\cal A}^{t+\Delta t}
= \hat{\cal A}^{t+\Delta t}
+ 2 \D...
...t
\dot{\cal A}_{cnd}\left( \hat{\cal A}^{t+\Delta t} \right)
\end{displaymath} (51)

leap frog における計算モードの除去のために Asselin(1972) の時間フィルターを毎ステップ適用する.

すなわち,

\begin{displaymath}
\bar{\cal A}^{t}
= ( 1-2 \epsilon_f ) {\cal A}^{t}
+ \eps...
...eft( \bar{\cal A}^{t-\Delta t} + {\cal A}^{t+\Delta t} \right)
\end{displaymath} (52)

$\bar{\cal A}$を求める. $\epsilon_f$ としては標準的に 0.05 を使用する.

0.7.2 semi-implicit 時間積分

方程式系において, $T=\bar{T}_k$ であるような静止場を基本場とする 線型重力波項とそれ以外の項(添字$NG$を付ける)に分離する. 鉛直方向のベクトル表現 $\Dvect{D}=\{ D_{k} \}$, $\Dvect{T}=\{ T_{k} \}$ を用いて,

\begin{displaymath}
\DP{\pi}{t} = 
\left( \frac{\partial \pi}{\partial t} \right)_{NG}
- \Dvect{C} \cdot \Dvect{D} ,
\end{displaymath} (53)


\begin{displaymath}
\frac{\partial \Dvect{D}}{\partial t} =
\left( \DP{\Dvect...
...ine{W} \Dvect{T}
+ \Dvect{G} \pi )
+ {\cal D}_M \Dvect{D} ,
\end{displaymath} (54)


$\displaystyle \DP{\Dvect{T}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \DP{\Dvect{T}}{t} \right)_{NG}
- \underline{h} \Dvect{D}
+ {\cal D}_H \Dvect{T} ,$ (55)

ここで, 非重力波項は,

\begin{displaymath}
\left( \DP{\pi}{t} \right)^{NG}
= - \sum_{k=1}^{K} \Dvect{...
...k} \cdot \nabla \pi
\Delta \sigma_{k} \nonumber \\
= Z_{k}
\end{displaymath}  


\begin{displaymath}
\dot{\sigma}^{NG}_{k-1/2}
= - \sigma_{k-1/2} \left( \DP{\p...
...um_{l=k}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi
\Delta \sigma_{l}
\end{displaymath} (56)


\begin{displaymath}
\left( \DP{D}{t} \right)^{NG}
= \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
\D...
...a} \sum_{k=1}^{K} W_{kl} ( T_{v,l}-T_{l} )
+ {\cal D}(D_{k})
\end{displaymath} (57)


\begin{displaymath}
\left( \DP{T_{k}}{t} \right)^{NG}
\equiv - \frac{1}{a(1-\...
... + H_{k}
+ {\cal D}(T_{k})
+ {\cal D}^{\prime}(\Dvect{v})
\end{displaymath} (58)


$\displaystyle H_k$ $\textstyle =$ $\displaystyle T_{k}^{\prime} D_{k}$  
    $\displaystyle - \frac{1}{\Delta \sigma_{k}}
[ \dot{\sigma}_{k-1/2} ( \hat{T^{\p...
...e}_{k} )
+ \dot{\sigma}_{k+1/2} ( T^{\prime}_{k}
- \hat{T^{\prime}}_{k+1/2} ) ]$  
    $\displaystyle - \frac{1}{\Delta \sigma_{k}}
[ \dot{\sigma}^{NG}_{k-1/2} ( \hat{...
...{T}_{k} )
+ \dot{\sigma}^{NG}_{k+1/2} ( \bar{T}_{k}
- \hat{\bar{T}}_{k+1/2} ) ]$  
    $\displaystyle + \hat{\kappa}_{k} T_{v,k} \Dvect{v}_{k} \cdot \nabla \pi$  
    $\displaystyle - \frac{\alpha_{k}}{\Delta \sigma_{k} } T_{v,k}
\sum_{l=k}^{K} \D...
...{k} } T_{v,k}
\sum_{l=k+1}^{K} \Dvect{v}_{l} \cdot \nabla \pi
\Delta \sigma_{l}$  
    $\displaystyle - \frac{\alpha_{k}}{\Delta \sigma_{k} } T'_{v,k}
\sum_{l=k}^{K} D...
...{\beta_{k}}{\Delta \sigma_{k} } T'_{v,k}
\sum_{l=k+1}^{K} D_l \Delta \sigma_{l}$ (59)

また, 重力波項のベクトルおよび行列(下線で表示)は,

\begin{displaymath}
C_{k} = \Delta \sigma_{k}
\end{displaymath} (60)


\begin{displaymath}
W_{kl} = C_{p} \alpha_{l} \delta_{k \geq l}
+ C_{p} \beta_{l} \delta_{k-1 \geq l}
\end{displaymath} (61)


\begin{displaymath}
G_{k} = \hat{\kappa}_{k} C_{p} \bar{T}_{k}
\end{displaymath} (62)


\begin{displaymath}
\underline{h} = \underline{Q}\underline{S} - \underline{R}
\end{displaymath} (63)


\begin{displaymath}
Q_{kl} = \frac{1}{\Delta \sigma_{k}}
( \hat{\bar{T}}_{k-1...
...{k}}
( \bar{T}_{k} - \hat{\bar{T}}_{k+1/2} ) \delta_{k+1=l}
\end{displaymath} (64)


\begin{displaymath}
S_{kl} = \sigma_{k-1/2} \Delta \sigma_{l}
- \Delta \sigma_{l} \delta_{k \leq l }
\end{displaymath} (65)


\begin{displaymath}
R_{kl} = - \left( \frac{ \alpha_{k} }{ \Delta \sigma_{k} } ...
... \Delta \sigma_{l} \delta_{k+1 \leq l}
\right) \bar{T}_{k} .
\end{displaymath} (66)

ここで, 例えば $\delta_{k \leq l}$ は, $ k \leq l$ が成り立つとき 1, そうでないとき 0 となる関数である.

次のような表現を使用して,

\begin{displaymath}
\delta_{t} {\cal A} \equiv \frac{1}{2 \Delta t}
\left( {\cal A}^{t+\Delta t} - {\cal A}^{t-\Delta t} \right)
\end{displaymath} (67)


$\displaystyle \overline{\cal A}^{t}$ $\textstyle \equiv$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( {\cal A}^{t+\Delta t}
+ {\cal A}^{t-\Delta t} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {\cal A}^{t-\Delta t} + \delta_{t} {\cal A} \Delta t ,$ (68)

方程式系に semi-implicit 法を適用すると,
\begin{displaymath}
\delta_{t} \pi =
\left( \DP{\pi}{t} \right)_{NG}
- \Dvect{C} \cdot \overline{ \Dvect{D} }^{t}
\end{displaymath} (69)


\begin{displaymath}
\delta_{t} \Dvect{D} =
\left( \DP{\Dvect{D}}{t} \right)_{N...
...( \Dvect{D}^{t-\Delta t}
+ 2 \Delta t \delta_{t} \Dvect{D} )
\end{displaymath} (70)


\begin{displaymath}
\delta_{t} \Dvect{T} =
\left( \DP{\Dvect{T}}{t} \right)_{N...
... ( \Dvect{T}^{t-\Delta t}
+ 2 \Delta t \delta_{t} \Dvect{T} )
\end{displaymath} (71)

すると,

    $\displaystyle \left\{ ( 1-2\Delta t {\cal D}_H )( 1-2\Delta t {\cal D}_M )
\und...
...vect{G} \Dvect{C}^{T} ) \nabla^{2}_{\sigma}
\right\}
\overline{ \Dvect{D} }^{t}$  
    $\displaystyle = ( 1-2\Delta t {\cal D}_H )( 1-\Delta t {\cal D}_M )
\Dvect{D}^{...
... t}
+ ( 1-2\Delta t {\cal D}_H ) \Delta t
\left( \DP{\Dvect{D}}{t} \right)_{NG}$  
    $\displaystyle - \Delta t \nabla^{2}_{\sigma}
\left\{ ( 1-2\Delta t {\cal D}_H )...
...}^{t-\Delta t}
+ \Delta t
\left( \DP{\Dvect{T}}{t}
\right)_{NG} \right]
\right.$  
    $\displaystyle \left. \hspace*{20mm}
+ ( 1-2\Delta t {\cal D}_H ) \Dvect{G}
\left[ \pi^{t-\Delta t}
+ \Delta t
\left( \DP{\pi}{t} \right)_{NG}
\right]
\right\} .$ (72)

球面調和関数展開を用いているので,

\begin{displaymath}
\nabla^{2}_{\sigma} = - \frac{n(n+1)}{a^{2}}
\end{displaymath}

であり上式を $\overline{ \Dvect{D}_n^m }^{t}$ について解くことができる. その後,
\begin{displaymath}
D^{t+\Delta t} = 2\overline{ \Dvect{D} }^{t} - D^{t-\Delta t}
\end{displaymath} (73)

および, (3.52), (3.54) により$t+\Delta t$ における値 $ \hat{\cal A}^{t+\Delta t} $ が求められる.



... 基礎方程式を鉛直方向に差分によって離散化する9

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Yasuhiro MORIKAWA 平成19年6月8日