上流差分スキーム

解く方程式は以下の移流方程式である.

$$\DP{\psi }{t} + \Ddiv (\Dvect{v}\psi ) = 0.$$ (1)

ここで $\psi$ を正のスカラー量, $\Dvect{v}$ は速度である. 簡単のため 定常で非発散な速度場を仮定する. 速度場が非定常または非発散の場合につい ては後述する. 物理量の格子配置はスタガードにとる.

1 次元の場合(1)式は,

$$\DP{\psi }{t} + \DP{}{x}(u\psi )= 0,$$ (2)

となる. 空間方向を上流差分を用いて差分化する. $x=i\Delta x, t=n\Delta t$ での $\psi$ を $\psi _{i}^{n}$ と表すことにすると, (2)式は以下のように差分化される.

$$\DP{\psi }{t} = - \{F(\psi _{i}^{n},\psi _{i+1}^{n},u_{i+\f... ...- F(\psi _{i-1}^{n},\psi _{i}^{n},u_{i-\frac{1}{2}}^{n})\}.$$ (3)

ただし,

$$F(\psi _{i}^{n},\psi _{i+1}^{n},u_{i+\frac{1}{2}}^{n}) = [... ...+\frac{1}{2}}^{n}\vert)\psi _{i+1}^{n}] \frac{1}{2\Delta x},$$ (4)

等である.