B. 乱流パラメタリゼーション

B.1 サブグリッドスケールの運動エネルギー方程式

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. 1.5 次のクロージャーでは, 乱流運動エネルギーの時間発展方 程式を,

$$\DD{E}{t} = B + S + D_{E} - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right) E^{\frac{3}{2}}.$$ (B.1)

とする. 但し $l$ は混合距離であり $l = \left(\Delta x \Delta z \right)^{1/2}$ とする. $B$ と $S$ は それぞれ浮力と流れの変形速度による乱流エネルギー生成項, $D_{E}$ は乱流エ ネルギー拡散項, 第 4 項は乱流エネルギーの消散項であり,

$$B = \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} ,$$

$$S = - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} \DP{u_{i}}{x_{j}} ,$$

$$D_{E} = \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right)$$ (B.2)

である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する.

$$\overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} = - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E$$ (B.3)

$$\overline{u_{j}^{\prime} \theta } = K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}$$ (B.4)

ここで $K_{m}$ は運動量に対する渦粘性係数であり, $E$ はサブグリッドス ケールの乱流運動エネルギー, $K_{h}$ は渦拡散係数である. $K_{m}$, $K_{h}$ は $E$ を用いて以下のように与えられる.

$$K_{m} = C_{m} E^{\frac{1}{2}} l,$$ (B.5)

$$K_{h} = 3 K_{m}.$$ (B.6)

(B.1) 式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネルギー生成項は,

$$B = \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} ,$$

$$= - \frac{g}{\overline{\theta}} \overline{w^{\prime} \theta^{\prime}} ,$$

$$= - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)$$ (B.7)

である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 $S$ は,

$$S = - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} \DP{u_{i}}{x_{j}} ,$$

$$= - \left\{ - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right\} \DP{u_{i}}{x_{j}},$$

$$= \left\{ K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) - \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right\} \DP{u_{i}}{x_{j}},$$

$$= \left\{ K_{m} \left(\DP{u}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x}\right) - \frac{2}{3} \delta_{1j} E \right\} \DP{u}{x_{j}}$$

$$+ \left\{ K_{m} \left(\DP{w}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{z}\right) - \frac{2}{3} \delta_{3j} E \right\} \DP{w}{x_{j}},$$

$$= \left\{ 2 K_{m} \left(\DP{u}{x} \right) - \frac{2}{3} E \right\} \DP{u}{x} + K_{m} \left( \DP{w}{x} + \DP{u}{z} \right) \DP{u}{z}$$

$$+ K_{m} \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right) \DP{w}{x} + \left\{ 2 K_{m} \left(\DP{w}{z} \right) - \frac{2}{3} E \right\} \DP{w}{z},$$

$$= 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} + K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}$$

$$- \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$$ (B.8)

である. 乱流エネルギー拡散項 $D_{E}$ は,

$$D_{E} = \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right),$$

$$= \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)$$ (B.9)

である. 以上の (B.7), (B.8), (B.9) 式を (B.1) 式 に代入することで以下の式を得る.

$$\DD{E}{t} = - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)$$

$$+ 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z}... ...{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$$

$$+ \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)$$

$$- \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right) E^{\frac{3}{2}}.$$ (B.10)

さらに (B.10) 式を (B.5) 式を用いて $K_{m}$ に関する式 に変形する. 右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと,

$$\DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x}\right) + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E}{z}\right)$$

$$= \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{\DP{}{x} \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{x}\right) + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{z}\right) \Biggr\}$$

$$= \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \D... ...{2}}{x} + K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} + \DP{K_{m}}{z} \DP{K_{m}^{2}}{z} \Biggr\}$$

$$= \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]... ...Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \Biggr\}$$

となるので, (B.10) 式を変形すると,

$$\frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \DD{K_{m}}{t} = - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)... ...m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\}$$

$$+ K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2} - \frac{2}{3} \frac{K_{m}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$$

$$+ \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[... ...Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \Biggr\}$$

$$- \frac{C_{\varepsilon}}{C_{m}^{3} {l}^{4}} K_{m}^{3}$$

$$\DP{K_{m}}{t} = - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{g C_{m... ...} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \frac{K_{h}}{K_{m}} \left(\DP{\theta}{z} \right)$$

$$+ \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\}$$

$$+ \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$$

$$+ \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$$

$$- \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}} K_{m}^{2}$$

となり, ここで $C_{m} = C_{\varepsilon} = 0.2$ と $K_{h} = 3 K_{m}$ という 関係を用いると,

$$\DP{K_{m}}{t} = - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \left(\DP{\theta}{z} \right)$$

$$+ \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\}$$

$$+ \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right)$$

$$+ \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}$$

$$- \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}$$ (B.11)

となる.