: 5. 大規模凝結 : dcpam5 支配方程式系とその離散化 : 3. 力学過程

4. 積雲パラメタリゼーション

4.1 はじめに

大気大循環モデルにおいては積雲を様に表現するだけの分解能を持たないので, 雲の発生する条件並びに雲が大気大循環に与える影響については何らかの方法で評価せざるを得ない. 雲が発生する条件および雲が大気大循環に与える影響のうちの熱・運動量輸送効果については ^4.1, 大規模場の速度や熱力学的諸量から評価することが多い. この評価方法は一般に積雲パラメタリゼーションと呼ばれ, 特に以下の型のものが良く用いられる.

湿潤対流調節 (Manabe et al., 1965)
クオスキーム (Kuo, 1974) ^4.2
浅い積雲^4.3
荒川シューバートスキーム ^4.4

また, そもそも大気が過飽和状態にあれば降水が起こる. これを大規模凝結という. これについては別紙『大規模凝結』を参照のこと.

以下では dcpam5に実装されている各種パラメタリゼーションについて解説する.

4.2 湿潤対流調節

4.2.1 はじめに

連続した 2 つのレベルの間の層において, 次の条件が満たされる場合に調節を行う.

温度減率が湿潤断熱減率よりも大きい.
飽和もしくは過飽和.

4.2.2 水蒸気が少ないという近似を行う場合

上記の条件 (1) に関して, エントロピーの高度変化に関する条件

$\displaystyle \DD{S}{z} < 0$

(4.1)

を, 「水蒸気が少ない」という近似を用いて書きかえると

$\displaystyle \DP{T}{z} - \frac{RT}{C_p p} \DP{p}{z} + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{z} < 0$

(4.2)

となる. ここで,

は乾燥大気の定圧比熱,

は潜熱, $q^{*}$ は飽和比湿である.

上記の条件 (2) はそのまま用いる.

これらを用いて温度と比湿を調節するのがこのモデルでのデフォルトの湿潤対流調節スキームである. 以下, スキームの定式化の説明を行う ^4.5.

4.2.3 温度と比湿の調節量の計算方法

比湿と温度を, $(\hat{q}, \hat{T})$ からへ調節するものとする.

条件式は以下の通りである.

$\displaystyle q_{k-1}$	$\displaystyle = q^* (T_{k-1}, p_{k-1}),$	(4.3)
$\displaystyle q_{k}$	$\displaystyle = q^{*} (T_{k}, p_{k}),$	(4.4)

$\displaystyle T_{k-1} - T_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (T_{k-1}, p_{k-1}) ... ...\frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} = 0,$

(4.5)

$\displaystyle (C_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k} + (C_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \D... ...at{q}_{k}) \Delta p_{k} + (C_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1}.$

(4.6)

解は以下のようになる.

$q_{k}$ , $q_{k-1}$ ( $q \ll 1$ は使っていない)
比湿に関しては, 過飽和の場合には以下のように飽和状態に調節する.

$\displaystyle q_{k}$ $\displaystyle = q^{*} (\hat{T}_{k},p_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{\hat{T}_{k}} \Delta T_{k},$ (4.7)

$\displaystyle q_{k-1}$ $\displaystyle = q^{*} (\hat{T}_{k-1},p_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{\hat{T}_{k-1}} \Delta T_{k-1}.$ (4.8)

ここで,

$\displaystyle \Delta T_{k}$ $\displaystyle = T_{k} - \hat{T}_{k} ,$ (4.9)

$\displaystyle \Delta T_{k-1}$ $\displaystyle = T_{k-1} - \hat{T}_{k-1}$ (4.10)

である. これらの導出に関しては以下を参照のこと.
$\Delta T_{k-1}$ ( $q \ll 1$ は使っていない)
(4.6), (4.7), (4.8)より,

$\displaystyle (C_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \Delta p_{k-1} - (C_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1}$ $\displaystyle = - (C_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k} + (C_p \hat{T}_{k} + L \hat{q}_{k}) \Delta p_{k},$

$\displaystyle \left\{ \Delta T_{k-1} + \frac{L}{C_p} (q_{k-1} - \hat{q}_{k-1} ) \right\} \Delta p_{k-1}$ $\displaystyle = - \left\{ \Delta T_{k} + \frac{L}{C_p} (q_{k} - \hat{q}_{k}) \right\} \Delta p_{k},$

$\displaystyle \left[ \Delta T_{k-1} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (\hat{T}_{k-1... ...1} \Delta T_{k-1} - \hat{q}_{k-1} \right\} \right] \Delta p_{k-1} \hspace{-7em}$

$\displaystyle \hspace{-7em} = - \left[ \Delta T_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{... ...}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} - \hat{q}_{k} \right\} \right] \Delta p_{k},$

$\displaystyle \left\{ 1+ \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k-1} ... ...\{ q^{*} (\hat{T}_{k-1} ) - \hat{q}_{k-1} \right\} \Delta p_{k-1} \hspace{-7em}$

$\displaystyle \hspace{-7em} = - \left[ 1 + \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \... ...- \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (\hat{T}_{k}) - \hat{q}_{k} \right\} \Delta p_{k}$ (4.11)

である. ここで

$\displaystyle \gamma_{k} \equiv \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k}$ (4.12)

とおくと,

$\displaystyle \left\{ 1 + \gamma_{k-1} \right\} \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}$

$\displaystyle \hspace{3em} = - \left( 1 + \gamma_{k} \right) \Delta T_{k} \Delt... ...{k-1} + \left\{ \hat{q}_{k} - q^{*} (\hat{T}_{k}) \right\} \Delta p_{k} \right]$ (4.13)

となる. ここで,

$\displaystyle \Delta \hat{Q} \equiv \left\{ \hat{q}_{k-1} - q^{*} (\hat{T}_{k-1... ...Delta p_{k-1} + \left\{ \hat{q}_{k} - q^{*} (\hat{T}_{k}) \right\} \Delta p_{k}$ (4.14)

とおき, $\Delta T_{k-1}$ について解けば,

$\displaystyle \left\{ 1 + \gamma_{k-1} \right\} \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}$ $\displaystyle = - \left( 1 + \gamma_{k} \right) \Delta T_{k} \Delta p_{k} + \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q},$

$\displaystyle \Delta T_{k-1}$ $\displaystyle = - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}... ...rac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}$ (4.15)

となる. $\Delta T_{k}$ の導出については以下を参照のこと.
$\Delta T_{k}$
(4.5), (4.7), (4.8), (4.9), (4.10) より,

$\displaystyle T_{k-1} - T_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (T_{k-1}, p_{k-1}) ... ...\frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} = 0,$

$\displaystyle \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \left( \hat{T}_{k} + \Delta T_{k... ...{*} (\hat{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right\}$

$\displaystyle \qquad - \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k}}{2} = 0,$

$\displaystyle \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (\hat{T... ...{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k} }{2}$

$\displaystyle \qquad + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k} + \frac{L}{C_p} \left. \DP... ...\frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}}{2} = 0.$ (4.16)

ここで,

$\displaystyle S_{k-1/2} \equiv \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k} + \frac{L}{C_p} \lef... ...{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k} }{2}$ (4.17)

とおく. すると湿潤不安定の条件は

$\displaystyle S_{k-1/2} > 0$ (4.18)

で表される. (4.17) を用いて (4.16) を変形すると,

$\displaystyle \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k} + \gamma_{k-1} \Delta T_{k-1} - \ga... ... \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \Delta T_{k} = - S_{k-1/2},$

$\displaystyle \left( - 1 - \gamma_{k} - \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2... ...{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k-1} = - S_{k-1/2}$ (4.19)

となる. ここで(4.15)を用いると,

$\displaystyle \left( - 1 - \gamma_{k} - \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k}$

$\displaystyle \hspace{2em} + \left( 1 + \gamma_{k-1} - \frac{R}{C_p} \frac{\Del... ...1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}} \right)$

$\displaystyle \hspace{4em} = - S_{k-1/2}$ (4.20)

$\kappa = R/C_p$ を使うと ^4.6,

$\displaystyle \left( - 1 - \gamma_{k} - \kappa \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k}$

$\displaystyle \hspace{2em} + \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kappa \frac{\Delta p_{k... ...1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}} \right)$

$\displaystyle \hspace{4em} = - S_{k-1/2}$ (4.21)

となる. $\Delta T_{k}$ に関する項を左辺にまとめると,

$\displaystyle \left[ \left( - 1 - \gamma_{k} \right) - \kappa \frac{\Delta p_{k... ... \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} \right) \right] \Delta T_{k}$

$\displaystyle \hspace{2em} = - S_{k-1/2} - \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kappa \fr... ...rac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}$ (4.22)

となる. $\Delta T_{k}$ について解くと,

$\displaystyle \Delta T_{k}$

$\displaystyle = \frac{ \displaystyle - S_{k-1/2} - \left( 1 + \gamma_{k-1} - \k... ...+ \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} \right) }$

$\displaystyle = \frac{ \displaystyle S_{k-1/2} + \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kap... ...frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} }$

$\displaystyle = \frac{ \displaystyle (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} S_{k-1/2... ...pa \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) (1 + \gamma_{k}) \Delta p_{k} }$

$\displaystyle = \frac{ \displaystyle (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} S_{k-1/2... ...\{ (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} - (1 + \gamma_{k}) \Delta p_{k} \right\} }$ (4.23)

が得られる.

4.3 Kuoスキーム

Kuoスキームにおいては, 雲底と雲頂の間で,

$\displaystyle T_k = \hat{T}_k + \frac{L}{C_p} (1-b) I \frac{( T^c_k - T_k )} {\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} ( T^c_k - T_k ) \frac{\Delta p_k}{g} }$

(4.24)

$\displaystyle q_k = \bar{q}_k^{t-\Delta t} + b I \frac{( q^c_k - q_k )} {\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} ( q^c_k - q_k ) \frac{\Delta p_k}{g} }$

(4.25)

ここで,

は, $t-\Delta t$ から $t+\Delta t$ の間の雲底雲頂間の水蒸気収束量であり,

$\displaystyle I = \sum_{k=k_B}^{k_T} ( \hat{q}_k - \bar{q}_k^{t-\Delta t} ) \frac{\Delta p_k}{g} .$

(4.26)

は雲内の温度, 比湿であり後述する.

b は水蒸気収束を凝結加熱と加湿に分配するパラメータであり, Anthes(1977)に従って,

$\displaystyle b = \left\{ \begin{array}{ll} \left( \frac{1-\langle \mbox{RH}\ra... ...mbox{RH}_c \\ 1 & \langle \mbox{RH}\rangle < \mbox{RH}_c \\ \end{array} \right.$

(4.27)

と評価する. RH $\equiv \hat{q}/q^*(\hat{T},p)$ は相対湿度であり,

$\displaystyle \langle$ RH $\displaystyle \rangle = \frac{\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} \hat{q} \frac{\D... ...{g} } {\displaystyle \sum_{k=k_B}^{k_T} q^*(\hat{T},p) \frac{\Delta p_k}{g} } .$

(4.28)

雲底は, 地表の気塊を断熱的に持ち上げたときに凝結しはじめる高度 (LCL;持ち上げ凝結高度)より上で成層が湿潤不安定であるもっとも下のレベルであるとする. レベルでである気塊のへの断熱的な気塊の持ち上げによる $(T^a_{k+1}, q^a_{k+1})$ への変化は,

$\displaystyle T^a_{k+1} = T^a_k \left( \frac{p_{k+1}}{p_k} \right)^{\kappa}$

(4.29)

$\displaystyle q^a_{k+1} = q^a_k$

(4.30)

となる. このとき,

$\displaystyle q^a_{k+1} > q^*( T^a_{k+1}, p_{k+1} )$

(4.31)

であれば, 過飽和凝結が起こり,

$\displaystyle T^a_{k+1} \leftarrow T^a_{k+1} + \frac{L}{C_p} \frac{ q^a_{k+1} - q^*( T^a_{k+1},p_{k+1}) } {\displaystyle 1 + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T} }$

(4.32)

$\displaystyle q^a_{k+1} \leftarrow q^a_{k+1} - \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T} \frac{... ...1} - q^*( T^a_{k+1},p_{k+1}) } {\displaystyle 1 + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T} } ,$

(4.33)

となる.

まず, $T^a_1=\hat{T}_1, q^a_1=\hat{q}_1$ から出発して逐次このような持ち上げ操作を行ない, はじめて凝結が起きたレベルを LCL とする. 成層が湿潤不安定であるかどうかは, $T^a_k = \hat{T}_k, q^a_k = q^*( \hat{T}_k, p_k )$ から出発して, $T^a_{k+1}, q^a_{k+1}$ を求めたとき,

$\displaystyle T^a_{k+1} > \hat{T}_{k+1}$

(4.34)

となるかどうかによって判断する.

雲内の温度, 比湿は雲底で $T^a_{k_B} = \hat{T}_{k_B}, q^a_{k_B} = q^*( \hat{T}_{k_B}, p_{k_B} )$ から出発して断熱的に持ち上げた気塊の温度, 比湿とする. である. 雲頂は, 雲底よりも上でこのようにきめた雲内の温度が周辺よりも低くなる, すなわち,

$\displaystyle T^c_k < \hat{T}_k$

(4.35)

となるような一番下のレベルである.

降水量は,

$\displaystyle P = (1-b) I .$

(4.36)

である.

4.4 浅い積雲

4.5 荒川シューバートスキーム

4.6 参考文献

: Kuo, H.L., 1974: Further studies of the parameterization of the influence of cumulus convection of large-scale flow. J. Atmos. Sci., 34, 1232-1240.
: Manabe, S., Smagorinsky, J., Strickler, R.F., 1965: Simulated climatology of a general circulation model with a hydrologic cycle. Mon. Weather Rev., 93, 769-798.

... 熱・運動量輸送効果については ^4.1: 雲が大気大循環に与える他の効果として放射が知られる.
... 1974)^4.2: dcpam5には今後実装の予定.
...^4.3: dcpam5には今後実装の予定.
... 荒川シューバートスキーム ^4.4: dcpam5には実装されていない.
... スキームの定式化の説明を行う ^4.5: 以下は差分法と混ざった話になってしまっているので, あとで連続系の話と離散系の話とに分ける必要がある.
... を使うと ^4.6: もっと前から使うべき?? (コードとの対応によっては $\kappa$ を使わない方がよいのかも)

: 5. 大規模凝結 : dcpam5 支配方程式系とその離散化 : 3. 力学過程

Yasuhiro MORIKAWA 平成20年8月9日

$\displaystyle q_{k}$	$\displaystyle = q^{} (\hat{T}_{k},p_{k}) + \left. \DP{q^{}}{T} \right\vert _{\hat{T}_{k}} \Delta T_{k},$	(4.7)
$\displaystyle q_{k-1}$	$\displaystyle = q^{} (\hat{T}_{k-1},p_{k-1}) + \left. \DP{q^{}}{T} \right\vert _{\hat{T}_{k-1}} \Delta T_{k-1}.$	(4.8)

$\displaystyle \Delta T_{k}$	$\displaystyle = T_{k} - \hat{T}_{k} ,$	(4.9)
$\displaystyle \Delta T_{k-1}$	$\displaystyle = T_{k-1} - \hat{T}_{k-1}$	(4.10)

$\displaystyle (C_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \Delta p_{k-1} - (C_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1}$	$\displaystyle = - (C_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k} + (C_p \hat{T}_{k} + L \hat{q}_{k}) \Delta p_{k},$
$\displaystyle \left\{ \Delta T_{k-1} + \frac{L}{C_p} (q_{k-1} - \hat{q}_{k-1} ) \right\} \Delta p_{k-1}$	$\displaystyle = - \left\{ \Delta T_{k} + \frac{L}{C_p} (q_{k} - \hat{q}_{k}) \right\} \Delta p_{k},$
$\displaystyle \left[ \Delta T_{k-1} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (\hat{T}_{k-1... ...1} \Delta T_{k-1} - \hat{q}_{k-1} \right\} \right] \Delta p_{k-1} \hspace{-7em}$
	$\displaystyle \hspace{-7em} = - \left[ \Delta T_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{... ...}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} - \hat{q}_{k} \right\} \right] \Delta p_{k},$
$\displaystyle \left\{ 1+ \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{}}{T} \right\vert _{k-1} ... ...\{ q^{} (\hat{T}_{k-1} ) - \hat{q}_{k-1} \right\} \Delta p_{k-1} \hspace{-7em}$
	$\displaystyle \hspace{-7em} = - \left[ 1 + \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{}}{T} \... ...- \frac{L}{C_p} \left\{ q^{} (\hat{T}_{k}) - \hat{q}_{k} \right\} \Delta p_{k}$	(4.11)

	$\displaystyle \left\{ 1 + \gamma_{k-1} \right\} \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}$
	$\displaystyle \hspace{3em} = - \left( 1 + \gamma_{k} \right) \Delta T_{k} \Delt... ...{k-1} + \left\{ \hat{q}_{k} - q^{*} (\hat{T}_{k}) \right\} \Delta p_{k} \right]$	(4.13)

$\displaystyle \left\{ 1 + \gamma_{k-1} \right\} \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}$	$\displaystyle = - \left( 1 + \gamma_{k} \right) \Delta T_{k} \Delta p_{k} + \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q},$
$\displaystyle \Delta T_{k-1}$	$\displaystyle = - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}... ...rac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}$	(4.15)

	$\displaystyle T_{k-1} - T_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (T_{k-1}, p_{k-1}) ... ...\frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} = 0,$
	$\displaystyle \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \left( \hat{T}_{k} + \Delta T_{k... ...{} (\hat{T}_{k}) - \left. \DP{q^{}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right\}$
	$\displaystyle \qquad - \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k}}{2} = 0,$
	$\displaystyle \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (\hat{T... ...{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k} }{2}$
	$\displaystyle \qquad + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k} + \frac{L}{C_p} \left. \DP... ...\frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}}{2} = 0.$	(4.16)

	$\displaystyle \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k} + \gamma_{k-1} \Delta T_{k-1} - \ga... ... \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \Delta T_{k} = - S_{k-1/2},$
	$\displaystyle \left( - 1 - \gamma_{k} - \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2... ...{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k-1} = - S_{k-1/2}$	(4.19)

	$\displaystyle \left( - 1 - \gamma_{k} - \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k}$
	$\displaystyle \hspace{2em} + \left( 1 + \gamma_{k-1} - \frac{R}{C_p} \frac{\Del... ...1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}} \right)$
	$\displaystyle \hspace{4em} = - S_{k-1/2}$	(4.20)

	$\displaystyle \left[ \left( - 1 - \gamma_{k} \right) - \kappa \frac{\Delta p_{k... ... \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} \right) \right] \Delta T_{k}$
	$\displaystyle \hspace{2em} = - S_{k-1/2} - \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kappa \fr... ...rac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}$	(4.22)

	$\displaystyle \Delta T_{k}$
	$\displaystyle = \frac{ \displaystyle - S_{k-1/2} - \left( 1 + \gamma_{k-1} - \k... ...+ \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} \right) }$
	$\displaystyle = \frac{ \displaystyle S_{k-1/2} + \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kap... ...frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} }$
	$\displaystyle = \frac{ \displaystyle (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} S_{k-1/2... ...pa \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) (1 + \gamma_{k}) \Delta p_{k} }$
	$\displaystyle = \frac{ \displaystyle (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} S_{k-1/2... ...\{ (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} - (1 + \gamma_{k}) \Delta p_{k} \right\} }$	(4.23)