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: B. 乱流パラメタリゼーション : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 2. 参考文献


A. 準圧縮方程式系の導出

A.1 線形化前の基礎方程式系

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. この系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで 決まることになる. このような系では温位 $\theta $ が保存量として使える.

A.1.1 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho $ で表現する場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho $ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u$ (A.1)
    $\displaystyle \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} - g = Turb.w$ (A.2)

連続の式
 
$\displaystyle \DD{\rho}{t} + \rho\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z}\right) = 0$     (A.3)

密度の式(状態方程式)
 
$\displaystyle \rho = \frac{p}{R_{d} T_{v}}$     (A.4)

熱の式
 
$\displaystyle {c_{p}}_{d}\DD{T}{t} - \Dinv{\rho_{d}} \DD{p}{t} = Q + Turb.T$     (A.5)

凝縮成分の混合比保存式
 
    $\displaystyle \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$ (A.6)
    $\displaystyle \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$ (A.7)
    $\displaystyle \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$ (A.8)

ここで $R_{d}$, ${c_{p}}_{d}$, $\rho_{d}$ は単位質量当たりの乾燥成分の 気体定数, 定圧比熱, 密度であり, $Q$ は非断熱加熱, $q_{v}$ は気体成分の混合比, $q_{c}$ は雲水混合比, $q_{r}$ は雨水混合比である. $q_{v}, q_{r}, q_{c}$ は, 凝縮成分の数だけ存在する. $Turb$, $Src$, $Fall$ を付けた項はそれぞれ 拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.

密度の式には凝縮成分の混合比が考慮されている.

$\displaystyle \rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_{d} + \sum \rho_{v} + \sum \rho_{c} + \sum \rho_{r}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_{d} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} ).$ (A.9)

ただし, $q_v = \rho_v/\rho_{d}$, $q_{c}$, $q_{r}$ はそれぞれ, 凝縮性気体, 雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾燥成分の分圧 $p_{d}$ は.
$\displaystyle p_{d}$ $\textstyle =$ $\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p_{d} + \sum p_{v} }\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum \rho_{v} R_{v} T}{\rho_{d} R_{d}T + \sum
\rho_{v} R_{v} T }\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle p \left( 1 - \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}
}\right)$  

となるので,
$\displaystyle \rho_{d}
= \frac{p_{d}}{R_{d} T}
= \frac{p}{R_{d} T} \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}
}\right)$     (A.10)

である. 但し $M$ は分子量を表し, 凝縮成分の体積は無視できるものと見なした. (A.9), (A.10) 式より,
$\displaystyle \rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p}{R_{d}T}
\left( \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right)
(1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} )$ (A.11)

となる.
$\displaystyle f \equiv
\left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right)
(1 + \sum q_{v} + \sum q_{x} )$      

と定義すると, (A.11) 式は以下のように書ける.
$\displaystyle \rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p}{R_{d} (T/f)}$ (A.12)

また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると,
$\displaystyle \rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p}{R_{d} \pi (\theta /f )}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} (\theta/f)}$ (A.13)

である. 但しエクスナー関数 $\pi $ $\pi = T/\theta$ の関係を満たす.

温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は

$\displaystyle c_{p}dT - \alpha dp = 0$     (A.14)

である. ここで $T$ は温度, $p$ は圧力, $c_{p}$ は単位質量当たりの比熱, $\alpha$ は比容である. (A.14) 式の $\alpha$ は, 理想気体の状態方程式を用いると,
$\displaystyle \alpha = \frac{RT}{p}$     (A.15)

と書ける. ここで $M$ は分子量, $R$ は気体定数である. (A.14) 式に (A.15) 式を代入し整理すると,
$\displaystyle \frac{c_{p}}{T}dT - \frac{R}{p} dp = 0$     (A.16)

となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので $c_{p}$$R$ は共に $p$ に依存しない. 一般に $c_{p}$$T$ の関数であるが, $c_{p}$ を定数とみなすと,
$\displaystyle \int^{T_{0}}_{T} \Dinv{T}dT$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R}{c_{p}} \int^{p_{0}}_{p} \Dinv{p} dp$  
$\displaystyle \ln{(T_{0}/T)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R}{c_{p}} \ln{(p_{0}/p)}$  
$\displaystyle \theta$ $\textstyle =$ $\displaystyle T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^\frac{R}{c_{p}}$ (A.17)

となり, 温位が得られる.

A.1.2 温位 $\theta $, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho $ で表現する場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 $\theta $, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho $ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. CReSS(坪木と榊原, 2001)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u$ (A.18)
    $\displaystyle \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} - g = Turb.w$ (A.19)

圧力方程式
 
$\displaystyle \DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2}
\left\{
- \Ddiv{\Dvect{u}}
+ \Dinv{\...
...\DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t}
\right)
\right\}$     (A.20)

密度の式(状態方程式)
 
$\displaystyle \rho = \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}}
\left( \frac{p}{p_{0}}\right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}$     (A.21)

熱の式
 
$\displaystyle \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta$     (A.22)

凝縮成分の混合比の保存式
 
    $\displaystyle \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$ (A.23)
    $\displaystyle \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$ (A.24)
    $\displaystyle \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$ (A.25)

ただし温位 $\theta $
$\displaystyle \theta \equiv T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}$     (A.26)

であり, 仮温位 $\theta_{v}$ は,
$\displaystyle \theta_{v} \equiv \frac{\theta}{f}$     (A.27)

である. 音速 $C_{s}$
$\displaystyle {C_{s}}^{2}
\equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} T_{v}
= \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \frac{T}{f}$     (A.28)

である. ${c_{p}}_{d}$${c_{v}}_{d}$ はそれぞれ単位質量当たりの 乾燥成分の定圧比熱と定積比熱であり, ${c_{v}}_{d} + R_{d} = {c_{p}}_{d}$ という 関係にある.

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta,p,q_{v},q_{x})$ として $\rho $ の全微分を求める.

$\displaystyle d\rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle d \left[
\frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}}
\left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle d \left[
\frac{p_{0}}{R_{d} (\theta / f) }
\left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p_{0} }{R_{d} (\theta/f)}
\frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d}}
\...
...t( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}}
\frac{d\theta}{\theta^{2}}$  
    $\displaystyle +
\frac{p_{0}}{R_{d} \theta}
\left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{...
...{q_{v}} dq_{v}
+ \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{{C_{s}}^{2}} dp
- \frac{\rho}{\theta} d\theta
+ \sum \frac{...
... \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}$ (A.29)

となる. (A.29) 式を圧力の式として整理すると,
$\displaystyle \DD{p}{t}
= {C_{s}}^{2}
\left(
\DD{\rho}{t}
+ \frac{\rho}{\theta}...
...rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
- \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)$      

であり, 連続の式を用いると,
$\displaystyle \DD{p}{t}
= \rho {C_{s}}^{2}
\left(
- \Ddiv \Dvect{u}
+ \Dinv{\th...
...\sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
- \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)$      

となり, 圧力方程式が得られる.

A.1.3 温位 $\theta $, 無次元圧力 $\pi $, 風速 $u, w$, 密度 $\rho $ で表現する場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 $\theta $, 無次元圧力 $\pi $, 風速 $u, w$, 密度 $\rho $ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 連続の式 (A.3) と状態方程式 (A.21) を用いることで得られる圧力方程式を利用する. Klemp and Willhelmson (1978)では, この基礎方程式を用いている.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{x} = Turb.u$ (A.30)
    $\displaystyle \DD{w}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{z} - g = Turb.w$ (A.31)

圧力方程式
 
$\displaystyle \DD{\pi}{t}
= \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} }
\...
...\DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t}
\right)
\right\}$     (A.32)

状態方程式
 
$\displaystyle \rho = \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} \theta_{v}}$     (A.33)

熱の式
 
$\displaystyle \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta$     (A.34)

水蒸気および水物質混合比の式
 
    $\displaystyle \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v}$ (A.35)
    $\displaystyle \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c}$ (A.36)
    $\displaystyle \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{x} + Turb.q_{r}$ (A.37)

ただし, エクスナー関数 $\pi $ は,
$\displaystyle \pi \equiv \frac{T}{\theta}
= \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}}$     (A.38)

であり, 音速 $C_{s}$
$\displaystyle {C_{s}}^{2}
\equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \theta_{v}
= \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi
\left( \frac{\theta}{f} \right)$     (A.39)

である.

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる.

$\displaystyle \Dinv{\rho} dp$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R_{d} \pi (\theta/f)}{p}
d \left(
p_{0} \pi^{{c_{p}}_{d}/R_{d}}
\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p}
\left(
\frac{p_{0} {c_{p}}_{d}}{R_{d}} \pi^{{c_{p}}_{d}/R - 1}
\right)
d\pi$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p}
\left(
\frac{{c_{p}}_{d}}{R_{d}} p \pi^{-1}
\right)d\pi$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {c_{p}}_{d} (\theta/f) d\pi$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {c_{p}}_{d} \theta_{v} d\pi$ (A.40)

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta, \pi, q_{v}, q_{x})$ として $\rho $ の全微分を計算する.

$\displaystyle d\rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle d \left[
\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} \theta_{v}}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle d \left[
\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} (\theta/f)}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta/f) }
\pi^{(c_{v/R_{d}}-1)}
\frac{{c_{v...
..._{d}}
d\pi
-
\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} f}{R_{d}}
\frac{d\theta}{\theta^{2}}$  
    $\displaystyle +
\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} \theta}
\left(
\sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v}
+ \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle {c_{p}}_{d} (\theta/f)
\left( \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d} R_{d...
...d\pi
-
\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta/f)}
\frac{d\theta}{\theta}$  
    $\displaystyle +
\Dinv{f}
\left(
\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta /...
...}{q_{v}} dq_{v}
+ \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ {c_{p}}_{d} \rho (\theta/f)}{{C_{s}}^{2} } d\pi
- \frac{\r...
...}{q_{v}} dq_{v}
+ \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v}}{{C_{s}}^{2} } d\pi
- \frac{\r...
...}{q_{v}} dq_{v}
+ \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)$ (A.41)

となる. (A.41) 式を圧力の式として整理すると,
$\displaystyle \DD{\pi}{t}
=
\frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} }
\...
...dq_{v}
+ \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)
\right\}$     (A.42)

となり, 連続の式を用いると,
$\displaystyle \DD{\pi}{t}
= \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} }
\...
...dq_{v}
+ \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c}
+ \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r}
\right)
\right\}$     (A.43)

となり, 圧力方程式が得られる.

A.2 線形化

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

A.2.1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

    $\displaystyle u = u^{'}(x,z,t)$  
    $\displaystyle w = w^{'}(x,z,t)$  
    $\displaystyle \pi = \bar{\pi}(z) + \pi^{'}(x,z,t)$  
    $\displaystyle \theta_{v} = \bar{\theta_{v}}(z) + {\theta_{v}}^{'}(x,z,t)$  
    $\displaystyle \rho = \bar{\rho}(z) + \rho^{'}(x,z,t)$  
    $\displaystyle q_{v} = \bar{q_{v}}(z) + q_{v}^{'}(x,z,t)$  
    $\displaystyle q_{r} = q_{r}^{'}(x,z,t)$  
    $\displaystyle q_{c} = q_{c}^{'}(x,z,t)$  

但し, $\theta_{v} = \theta/f$ とし, 基本場の風速 $u, w$ と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした. そして基本場には静水圧平衡,
$\displaystyle \DP{\bar{\pi}}{z}
= - \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}}
= - \frac{g}{{c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}$     (A.44)

の関係が成り立つものとする.

A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{u^{'}}{t} =
- \left(
u^{'} \DP{u^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{u^{'}}{z...
..._{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{x}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{x}
\right)
+ Turb.u$      

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は $x$ 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{u^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{u^{'}}{z}
\right)
- {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{u^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{u^{'}}{z}
\right)
-{c_{p}}_{d} \left( \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}\right)
\DP{\pi^{'}}{x}
+ Turb.u$ (A.45)

ここで $\bar{f}$ は,
$\displaystyle \bar{f} =
{\left(
1 - \frac{\sum \bar{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}}
\right)
(1 + \sum \bar{q_{v}} )}$     (A.46)

である.

A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t} =
- \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z...
...}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{z}
\right)
- g
+ Turb.w$      

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t} =
- \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z...
...v}} \DP{\pi^{'}}{z}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z}
\right)
- g
+ Turb.w .$      

さらに静水圧の式を利用すると以下となる.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right)
+ {c_{...
...eta_{v}}^{'}
\left( \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} \right)
- g + Turb.w$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right)
- {c_{...
...eta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x}
+ \frac{{\theta_{v}}^{'}}{\bar{\theta_{v}}} g
+ Turb.w$  

ここで ${\theta_{v}}^{'}$ は,
$\displaystyle {\theta_{v}}^{'}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{f}
\left\{
\theta^{'}
- \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{v}}...
...DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'}
- \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'}
\right\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{f}
\left\{
\frac{\theta^{'}}{\theta}
- \sum \Dinv{f} \DP{f}...
...inv{f} \DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'}
- \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'}
\right\}$ (A.47)

であり, (A.47) 式の第 2 項を計算すると,
$\displaystyle \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{v}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
(1 + \sum q_{v} ...
...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
(1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{v}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
(1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}$  
    $\displaystyle \left[
\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
-
\left\{
\frac...
...m q_{v}/M_{v})^{2}}
(1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})
\right\}
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}
- \frac{\sum 1/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}$  

であり, (A.47) 式の第 3 項を計算すると,
$\displaystyle \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{c}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
(1 + \sum q_{v} ...
...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
(1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{c}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}$  

であり, (A.47) 式の第 4 項を計算すると,
$\displaystyle \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{r}}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
(1 + \sum q_{v} ...
...{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
(1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{r}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}$  

となるので,
$\displaystyle {\theta_{v}}^{'}
= \Dinv{f}
\left\{
\frac{\theta^{'}}{\theta}
+ \...
...q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}}
{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}
\right\}$     (A.48)

である. ここで擾乱成分は平均成分に比べて十分に小さいので, 全量を平均成分に置き換えることで,
$\displaystyle {\theta_{v}}^{'}
= \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}
\left\{
\frac{\th...
...um q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}}
{1 + \sum \bar{q_{v}}}
\right\}$     (A.49)

となる. これを用いると, 擾乱成分の速度 $w$ の式は以下のように書ける.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right)
- {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x}$  
    $\displaystyle +
\left(
\frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}}
+ \frac{\sum q_{v}^{'}/M...
...'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}}
{1 + \sum \bar{q_{v}}}
\right) g
+ Turb.w$  

A.2.4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝縮に伴う圧力変化を無視し,

$\displaystyle \DD{\pi}{t}
=
- \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} (\theta/f)}
\Ddiv \Dvect{u}$      

として定式化した. 本モデルで考える系では, 凝縮成分が十分に小さいので, この近似を用いることとした.

圧力方程式に関して, 平均成分と擾乱成分に分ける. ただし, 擾乱成分は平均成 分よりも十分小さいという仮定を用い, $1/\theta = 1/\bar{\theta}$, $1/f = 1/\bar{f}$ とする.

$\displaystyle \DP{\bar{\pi} + \pi^{'}}{t}
+ u^{'} \DP{\bar{\pi}+\pi^{'}}{x}
+ w...
...verline{{C_{s}}^{2} }}{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}
\Ddiv \Dvect{u^{'}}$      

上式では ${C_{s}}^{2}$ を平均成分と擾乱成分に分離して 2 次の微小項を 無視すると, $\overline{{C_{s}}^{2}}$ と等しくなることを利用している.
$\displaystyle {C_{s}}^{2}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} (\bar{\pi} + \pi^{'})
\left( \frac{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{\bar{f}} \right)$  
  $\textstyle \approx$ $\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d}
\left(
\bar{\pi} \frac{\bar...
...{\pi} \frac{\theta^{'}}{\bar{f}}
+ \pi^{'} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}
\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d}
\bar{\pi} \frac{\bar{\theta...
...left(
1 + \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{ \pi^{'} }{\bar{\pi}}
\right)$  
  $\textstyle \approx$ $\displaystyle \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d}
\bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}
\equiv \overline{{C_{s}}^{2}}$ (A.50)

ただし $\theta^{'}/\bar{\theta} \ll 1$, $\pi^{'}/\bar{\pi} \ll 1$ であることを用いた. 平均成分は $z$ にのみ依存することを利用し, また 2 次の微小項を無視する.
$\displaystyle \DP{\pi^{'}}{t}
=
- w^{'} \DP{\bar{\pi}}{z}
- \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta} /\bar{f})}
\Ddiv \Dvect{u^{'}}$      

さらに $\pi $ を理想気体の状態方程式で変形してまとめると, 圧力の擾乱成分の時間発展方程式が得られる.
$\displaystyle \DP{\pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - w^{'} \DP{}{z}
\left( \frac{\bar{\rho} R_{d}(\bar{\theta}/\bar{...
...{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}
\left( \DP{ u^{'}}{x} + \DP{ w^{'}}{z} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - w^{'}
\frac{R_{d}}{{c_{v}}_{d}} \bar{\pi}
\Dinv{\left( \frac{\b...
...c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}
\left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\the...
...o} (\bar{\theta}/\bar{f})
\left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)
\right\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\the...
...f})^{2}}
\Ddiv \left\{
\bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}}
\right\}$  

以上より,
$\displaystyle \DP{\pi^{'}}{t}=
- \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar...
...f})^{2}}
\Ddiv \left\{
\bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}}
\right\}$     (A.51)

である.

A.2.5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

    $\displaystyle \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{t}
=
- u^{'}\DP{(\bar{\theta} + ...
...w^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x}
+ Q + Turb.(\bar{\theta} + \theta^{'})$  

ここで平均場の量は $z$ の関数であることを用いると,
    $\displaystyle \DP{\theta^{'}}{t}
=
- \left(
u^{'}\DP{\theta^{'}}{x}
+ w^{'}\DP{...
...}
\right)
- w^{'}\DP{\bar{\theta}}{x}
+ Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta^{'}$ (A.52)

となる.

A.2.6 混合比の保存式の線形化

凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに 等しい.

    $\displaystyle \DP{q_{v}^{'}}{t}
=
- \left(
u^{'}\DP{q_{v}^{'}}{x}
+ w^{'}\DP{q_...
...- w^{'}\DP{\bar{q_{v}}}{x}
+ Src.q_{v}^{'} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v}^{'},$ (A.53)
    $\displaystyle \DP{q_{c}^{'}}{t}
=
- \left(
u^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x}
+ w^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x}
\right)
+ Src.q_{c}^{'} + Turb.q_{c}^{'},$ (A.54)
    $\displaystyle \DP{q_{r}^{'}}{t}
= - \left(
u^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x}
+ w^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x}
\right)
+ Src.q_{r}^{'} + Fall.q_{r}^{'} + Turb.q_{r}^{'}$ (A.55)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

A.3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す $~^{'}$ は 除いた.

運動方程式
 
$\displaystyle \DP{u}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right)
- {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x}
+ Turb.u$ (A.56)
$\displaystyle \DP{w}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u \DP{w}{x}
+ w \DP{w}{z}
\right)
- {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x}
+ Turb.w$  
    $\displaystyle + \left(
\frac{\theta}{\bar{\theta}}
+ \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/...
...
- \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}
{1 + \sum \bar{q_{v}}}
\right) g$ (A.57)

圧力方程式
 
$\displaystyle \DP{\pi}{t}=
- \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rh...
...bar{f})^{2}}
\Ddiv \left\{
\bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u}
\right\}$     (A.58)

熱の式
 
$\displaystyle \DP{\theta}{t}
=
- \left(
u\DP{\theta}{x}
+ w\DP{\theta}{x}
\right)
- w\DP{\bar{\theta}}{x}
+ Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta$     (A.59)

凝縮成分の混合比の保存式
 
    $\displaystyle \DP{q_{v}}{t}
=
- \left(
u\DP{q_{v}}{x}
+ w\DP{q_{v}}{x}
\right)
- w\DP{\bar{q_{v}}}{x}
+ Src.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v},$ (A.60)
    $\displaystyle \DP{q_{c}}{t}
=
- \left(
u\DP{q_{c}}{x}
+ w\DP{q_{c}}{x}
\right)
+ Src.q_{c} + Turb.q_{c},$ (A.61)
    $\displaystyle \DP{q_{r}}{t}
= - \left(
u\DP{q_{r}}{x}
+ w\DP{q_{r}}{x}
\right)
+ Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}$ (A.62)


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Odaka Masatsugu 平成18年12月25日