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: 変形オイラー平均方程式系 : プリミティブ方程式系と変形オイラー平均の復習 : 球面上の対数圧力座標系におけるプリミティブ方程式   目次

オイラー平均方程式系

ある物理量 $ A$ について, $ \phi, z^*, t$ を固定して 東西方向にとった平均
$\displaystyle \overline{A}(\phi, z^*, t) \equiv \Dinv{2\pi}\int_0^{2\pi} A(\lambda, \phi, z^*, t) \Dd \lambda$     (A.2)

をオイラー平均と呼ぶ. オイラー平均からのずれを $ A'$ とすると
$\displaystyle A' = A - \overline{A}$     (A.3)

である. 定義により, $ \overline{A'}=0$, $ \partial \overline{A}/\partial\lambda = 0$ となる. ([*]) 中の各量をオイラー平均とそこからのずれに分けて書くと
\begin{subequations}\begin{align}
 & \DP{}{t}(\overline{u} + u') 
 + \frac{\over...
... \theta')\notag\\  
 & \qquad = \overline{Q} + Q'
 \end{align}\end{subequations}

となる. 上記を変形して, 左辺に平均量と平均量同士の積の項を, 右辺にそれ以外の項をまとめると
\begin{subequations}\begin{align}
 & \DP{\overline{u}}{t}
 + \frac{\overline{u}}...
...erline{\theta}}{z^*}
 - w'\DP{\theta'}{z^*}
 + Q'
 \end{align}\end{subequations}

と書ける. ([*]) をオイラー平均すると,
\begin{subequations}\begin{align}
 & \DP{\overline{u}}{t}
 + \Dinv{a}\overline{v...
...\theta'}{\phi}}
 - \overline{w'\DP{\theta'}{z^*}}
 \end{align}\end{subequations}

となる. ここで ([*]), ([*]) から東西平均からのずれに関する連続の式
$\displaystyle \Dinv{a\cos\phi}\left[\DP{u'}{\lambda}
+ \DP{}{\phi}(v'\cos\phi)\right]
+ \Dinv{\rho_0}\DP{}{z^*}(\rho_0 w')
= 0$     (A.7)

が得られる.

([*]) を使って ([*]) を変形する. ([*]) に $ u'$ をかけて オイラー平均をとると
$\displaystyle \Dinv{a \cos \phi} \overline{u' \DP{u'}{\lambda}}
+ \Dinv{a} \ove...
...line{ u' \DP{w'}{z^*} }
+ \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ u' w' }
= 0$     (A.8)

これを ([*]) に加えると

$\displaystyle \DP{\overline{u}}{t}$ $\displaystyle + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\phi}
 + \overline{w}\DP{...
...erline{v} 
 - \frac{\tan\phi}{a}\overline{u}\overline{v}
 - \overline{X} \notag$    
  $\displaystyle = - \frac{2}{a\cos\phi} \overline{u'\DP{u'}{\lambda}}
 - \Dinv{a}...
...
 - \overline{u'\DP{w'}{z^*}}
 - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{u'w'}$    

ここで

$\displaystyle - \frac{2}{a\cos\phi} \overline{ u' \DP{u'}{\lambda} }$ $\displaystyle = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u')^2}{\lambda}}
 = 0,$    
$\displaystyle - \Dinv{a}\overline{v'\DP{u'}{\phi}}
 - \Dinv{a}\overline{u'\DP{v'}{\phi}}
 + \frac{2\tan\phi}{a}\overline{u'v'}$ $\displaystyle = - \Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi),$    
$\displaystyle - \overline{w'\DP{u'}{z^*}}
 - \overline{u'\DP{w'}{z^*}}
 - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{u'w'}$ $\displaystyle = - \Dinv{\rho_0}\DP{}{z^*}(\rho_0\overline{w'u'})$    

を用いると,

  $\displaystyle \DP{\overline{u}}{t}
 + \Dinv{a}\overline{v}\DP{\overline{u}}{\ph...
...e{v} 
 - \frac{\tan\phi}{a} \overline{u} \ \overline{v}
 - \overline{X}
 \notag$    
  $\displaystyle \qquad
 = - \Dinv{a\cos^2\phi}\DP{}{\phi}(\overline{v'u'}\cos^2\phi)
 - \Dinv{\rho_0}\DP{}{z^*}(\rho_0\overline{w'u'})$    

と書くことができる. ([*]) に関しても同様に, ([*]) に $ v'$ をかけて オイラー平均をとった式
$\displaystyle \Dinv{a \cos \phi} \overline{ v' \DP{u'}{\lambda} }
+ \Dinv{a} \o...
...line{ v' \DP{w'}{z^*} }
+ \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ v' w' }
= 0$     (A.9)

を ([*]) に加えると

  $\displaystyle \DP{\overline{v}}{t}
 + \frac{\overline{v}}{a} \DP{\overline{v}}{...
...(\overline{u})^2
 + \Dinv{a} \DP{\overline{\Phi}}{\phi}
 - \overline{Y}
 \notag$    
  $\displaystyle \qquad
 = - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{v'}{\lambda}}
 - \Din...
...hi}}
 - \overline{w'\DP{v'}{z^*}}
 - \frac{\tan\phi}{a} \overline{u'^2}
 \notag$    
  $\displaystyle \qquad \qquad
 - \Dinv{a \cos \phi} \overline{v' \DP{u'}{\lambda}...
...verline{ v' \DP{w'}{z^*} }
 - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ v' w' }$    

が得られる. ここで
$\displaystyle - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{v'}{\lambda}}
- \Dinv{a \cos \phi} \overline{v' \DP{u'}{\lambda}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u' v')}{\lambda}}
= 0,$  
$\displaystyle - \Dinv{a} \overline{ v' \DP{v'}{\phi} }
- \Dinv{a} \overline{ v' \DP{v'}{\phi} }
+ \frac{\tan \phi}{a} \overline{ v'^2 }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \Dinv{a \cos \phi}
\DP{}{\phi} \left( \cos \phi \overline{v'^2} \right)$  
$\displaystyle - \overline{w'\DP{v'}{z^*}}
- \overline{ v' \DP{w'}{z^*} }
- \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ v' w' }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ v' w' } \right)$ (A.10)

を用いると

  $\displaystyle \DP{\overline{v}}{t}
 + \frac{\overline{v}}{a} \DP{\overline{v}}{...
...(\overline{u})^2
 + \Dinv{a} \DP{\overline{\Phi}}{\phi}
 - \overline{Y}
 \notag$    
  $\displaystyle \qquad 
 = - \Dinv{a \cos \phi} 
 \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \o...
...line{u'^2}
 - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ v' w' } \right)$    

と書くことができる. ([*]) についても同様に, ([*]) に $ \theta'$ をかけて オイラー平均をとった式
$\displaystyle \Dinv{a \cos \phi} \overline{\theta' \DP{u'}{\lambda}}
+ \Dinv{a}...
...ta' \DP{w'}{z^*} }
+ \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ \theta' w' }
= 0$     (A.11)

を ([*]) に加えると

  $\displaystyle \DP{\overline{\theta}}{t}
 + \frac{\overline{v}}{a}\DP{\overline{\theta}}{\phi}
 + \overline{w}\DP{\overline{\theta}}{z^*}
 - \overline{Q} 
 \notag$    
  $\displaystyle \qquad = 
 - \Dinv{a\cos\phi}\overline{u'\DP{\theta'}{\lambda}}
 ...
...inv{a}\overline{v'\DP{\theta'}{\phi}}
 - \overline{w'\DP{\theta'}{z^*}}
 \notag$    
  $\displaystyle \qquad \qquad
 - \Dinv{a \cos \phi} \overline{\theta' \DP{u'}{\la...
...theta' \DP{w'}{z^*} }
 - \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ \theta' w' }$    

が得られる. ここで
$\displaystyle - \Dinv{a \cos \phi}\overline{u' \DP{\theta'}{\lambda}}
- \Dinv{a \cos \phi} \overline{\theta' \DP{u'}{\lambda}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \Dinv{a\cos\phi}\overline{\DP{(u' \theta')}{\lambda}}
= 0,$  
$\displaystyle - \Dinv{a} \overline{ v' \DP{\theta'}{\phi} }
- \Dinv{a} \overline{ \theta' \DP{v'}{\phi} }
+ \frac{\tan \phi}{a} \overline{ \theta' v' }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \Dinv{a \cos \phi}
\DP{}{\phi} \left( \cos \phi \overline{v' \theta'} \right)$  
$\displaystyle - \overline{w'\DP{\theta'}{z^*}}
- \overline{ \theta' \DP{w'}{z^*} }
- \Dinv{\rho_0} \DP{\rho_0}{z^*} \overline{ \theta' w' }$ $\displaystyle =$ $\displaystyle - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ w' \theta' } \right)$  

を用いると

  $\displaystyle \DP{\overline{\theta}}{t}
 + \frac{\overline{v}}{a}\DP{\overline{...
...ight)
 - \Dinv{\rho_0} \DP{}{z^*} \left( \rho_0 \overline{ w' \theta' } \right)$    

となる.

以上をまとめると, 以下のオイラー平均方程式が得られる.
\begin{subequations}\begin{align}
 \DP{\overline{u}}{t}
 & + \Dinv{a}\overline{v...
...nv{\rho_0}\DP{}{z^*}(\rho_0\overline{w'\theta'}).
 \end{align}\end{subequations}


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Tsukahara Daisuke 平成17年2月19日