時間方向の差分と誤差

さらに(6)の時間微分を前進差分で差分する.

$$\frac{\psi _{i}^{n+1}-\psi _{i}^{n}}{\Delta t}= -\left.\DP... ...\DP{\psi }{x}\right) \right\vert _{i}^{n} +O(\Delta x^{2}) .$$ (7)

この場合の誤差を評価する. 左辺の $\psi _{i}^{n+1}$ を $\psi _{i}^{n}$ の周りのテーラー展開で表現する.

$$\psi _{i}^{n+1}=\psi _{i}^{n} + \left.\DP{\psi }{t}\right\v... ...}\right\vert _{i}^{n} (\Delta t)^{2} + \cdot \cdot \cdot .$$

これの 2 次までをとって(6)に代入する. ただし右辺第 3 項の $t$ の 2 階微分は(2)式を用いて空間微分で 置き換える. すなわち,

$$\DP[2]{\psi }{t} = - \DP{}{x}\left[ u \left( -\DP{}{x}(u\... ...\psi ) \right] = \DP{}{x}\left[ u^{2} \DP{\psi }{x} \right]$$

とする. ただし $u$ は定常かつ非発散としている. これより(7)式は以下のようになる.

$$\left.\DP{\psi }{t}\right\vert _{i}^{n} = -\left.\DP{}{x}(... ...{x}\right]\right\vert _{i}^{n} +O(\Delta x^{2},\Delta t^{2}).$$ (8)

よって(2)式を時間, 空間方向にそれぞれ 1 次の正確度を持つ 上流・前進差分スキームで差分表現したものは, 移流拡散方程式

$$\DP{\psi }{t} + \DP{}{x}(u\psi ) = \DP{}{x}\left(K_{impl}\DP{\psi }{x}\right),$$

$(K_{impl} = 0.5[\vert u\vert\Delta x-\Delta t u^{2}])$を 2 次の正確度で近似した ものであることがわかる.