座標系と変換

本ライブラリで使用する座標系には 4 つのレベルがある. それぞれのレベルには上位レベルから順に U, V, R, W という記号が付けられ, 「U座標系」, 「V座標系」, 「R座標系」, 「W座標系」というように呼ばれる (図 1.3 参照). この U, V, R, W という文字は, それぞれ次のような名前に由来するが, これらの名前が長いので, 以後は単に「U座標系」などの用語を使うことにする (さらに UC などとも略記する).

U	ユーザ座標系	User coordinate
V	仮想直角座標系	Virtual rectangular coordinate
R	正規直角座標系	normalized Rectangular coordinate
W	装置座標系	Workstation coordinate

レファレンスマニュアルの引数の説明でも, U座標系の座標値は (UX,UY) というように, 座標系を表す文字をつけて記述してある. (正規直角座標系を N 座標系でなく R 座標系と呼ぶのは, 実変数に関する FORTRAN の規則による.)

**Figure:** 座標系と変換関数の関係
$\begin{figure}\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{center}\begin{picture}(...... \put(95, 34){\makebox(0,0){正規化変換}}\end{picture} \end{center} \end{figure}$

最も上位の U座標系は普通のX-Y座標から地図投影座標まで多くの座標系を含む. その一つ下位のV座標系には2次元, 3次元のそれぞれ1つずつの直角座標系が定義されており, 多様なU系の座標はすべてこの2種類の座標系に変換される. この変換のことを「正規化変換」 と呼ぶ.

一方, 最も下位の座標系である W 座標系はデバイス固有の座標系で, デバイスによって異なる. これを統一するために, その一つ上位に R 座標系を定義して, すべてこの R 座標系を経由して W座標系に変換される. この変換を「ワークステーション変換」と呼ぶ. R座標系は2次元の直角座標系で, x軸, y軸ともに定義域は[0,1] である.

これらの上位2つと下位2つの座標系を結ぶ V座標系から R 座標系への変換は 「透視変換」 と呼ばれる. 透視変換はその名の通り, 透視図法すなわち遠近法による変換で, 基本的に3次元のV座標系から 2次元のR座標系への変換である. 2次元のV座標系は, 一旦, 3次元のV座標系に割り付けられてから透視変換される. この時2次元のV座標系を割り付ける位置は, 3次元座標の x軸, y軸または z軸に垂直な任意の平面にとることができる. これにより, 2次元的に描いた1枚の図を斜めから眺めたような描写が可能になる.

初期状態では, 2次元V座標系からの透視変換は恒等変換となっているため, 2次元の座標系を普通に使う限り, 透視変換を意識する必要はないが, あとで透視変換を使いたくなることも考えて, V座標系とR座標系は使い分けておいた方が良い. すなわち, 座標軸などの「図に付随した情報」は, 透視図法で図とともに変換すべき情報なので V 座標系で描画し, SLPACK の描くページ数やパラメタの数値などのように「紙に付随した情報」は R 座標系で描画すべきである.

なお, 地図座標系の正規化変換は, 座標の「回転」と「投影」の2段階で行なわれ, その中間の座標 (U座標系を回転した座標) を T 座標 (Terrestrial coordinate) という. T 座標はx軸の定義域が [-180, 180], y軸の定義域が[-90, 90]の座標系で, この座標系から各地図投影の定義式に従って変換される. 任意の経線を中央経線としたり, 横軸法や斜軸法の投影をするためには投影の前に回転操作が必要となる.

T座標系は正規化変換の際の一時的な作業座標系であるので, これを意識しなければならないことは少いが, 地図座標のクリッピングだけは U座標系ではなくT座標系で行なわれるので, この座標系を意識する必要がある.

1.3 座標系と変換