4 積雲パラメタリゼーション

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0.7 はじめに

大気大循環モデルにおいては 積雲を様に表現するだけの分解能を持たないので, 雲の発生する条件 並びに雲が大気大循環に与える影響については 何らかの方法で評価せざるを得ない. 雲が発生する条件および 雲が大気大循環に与える影響のうちの 熱・運動量輸送効果については⁴, 大規模場の速度や熱力学的諸量から評価することが多い. この評価方法は一般に積雲パラメタリゼーションと呼ばれ, 特に以下の型のものが良く用いられる.

• 湿潤対流調節
• クオスキーム
• 浅い積雲⁵
• 荒川シューバートスキーム⁶

また, そもそも大気が過飽和状態にあれば降水が起こる. これを大規模凝結という.

以下では各種パラメタリゼーション並びに大規模凝結について解説する.

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0.8 湿潤対流調節

0.8.1 はじめに

連続した 2 つのレベルの間の層において, 次の条件が 満たされる時調節を行う.

1. 温度減率が湿潤断熱減率よりも大きい
2. 飽和もしくは過飽和.

0.8.2 水蒸気が少ないという近似を行う場合

上記の条件 (1) に関して,

$$\DD{s}{z} < 0$$ (31)

の条件を, 「水蒸気が少ない」という近似をふんだんに 用いて書きかえると

$$\DP{T}{z} - \frac{RT}{c_p p} \DP{p}{z} + \frac{L}{c_p} \DP{q^*}{z} < 0$$ (32)

となる.

上記の条件 (2) に関しては, そのまま使う.

これらを用いて温度と比湿を調節するのが dcpam のデフォルトの 湿潤対流調節スキームである.

以下, スキームの定式化の説明を行う. (差分法と混ざった話になってしまっているので, あとでちゃんと整理が 必要だとおもう).

0.8.3 温度と比湿の調節量の計算方法

比湿と温度を, $(\hat{q}, \hat{T})$ から $(q, T)$ へ 調節するものとする.

条件式は以下の通りである.

$$q_{k-1} = q^* (T_{k-1}, p_{k-1}),$$ (33)

$$q_{k} = q^{*} (T_{k}, p_{k})$$ (34)

$$T_{k-1} - T_{k} + \frac{L}{C_p} \left\{ q^{*} (T_{k-1}, p_{k-1}) ... ...- \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} =0$$ (35)

$$(c_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k} + (c_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \D... ...hat{q}_{k}) \Delta p_{k} + (c_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1}$$ (36)

解は以下のようになる(で, 良いんだっけかな?)

• $q_{k}$, $q_{k-1}$ ($q \ll 1$ は使っていない)

  $\Delta T_{k}$, $\Delta T_{k-1}$ が求められたとすると, 「飽和するべし」という条件から,
  

  $$q_{k} = q^{*} (\hat{T}_{k},p_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{\hat{T}_{k}} \cdot \Delta T_{k},$$ (37)

  $$q_{k-1} = q^{*} (\hat{T}_{k-1},p_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{\hat{T}_{k-1}} \cdot \Delta T_{k-1}$$ (38)

  
  
  によって計算できる.

• $T_{k-1}$ ($q \ll 1$ は使っていない)

  $\Delta T_{k}$ がわかったとすると,
  

  $$q_{k} = q^{*} (\hat{T}_{k},p_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{\hat{T}_{k}} \cdot \Delta T_{k}$$ (39)

  
  
  もわかる.

  $\sum h =0$ より
  

  $$(c_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \Delta p_{k-1} - (c_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1} = - (c_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k} + (c_p \hat{T}_{k} + L \hat{q}_{k}) \Delta p_{k},$$

  $$\left\{ \Delta T_{k-1} + \frac{L}{c_p} (q_{k-1} - \hat{q}_{k-1} ) \right\} \Delta p_{k-1} = - \left\{ \Delta T_{k} + \frac{L}{c_p} (q_{k} - \hat{q}_{k}) \right\} \Delta p_{k},$$

  
  
  
  

  $$\left[ \Delta T_{k-1} + \frac{L}{c_p} \left\{ q^{*} (\hat{T}_{k-1... ...ight\vert _{k-1} \Delta T_{k-1} - \hat{q}_{k-1} \right\} \right] \Delta p_{k-1}$$

  $$= - \left[ \Delta T_{k} + \frac{L}{c_p} \left\{ q^{*} (T_{k}) + \... ...}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} - \hat{q}_{k} \right\} \right] \Delta p_{k},$$

  $$\left\{ 1+ \frac{L}{c_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k-1} ... ...{L}{c_p} \left\{ q^{*} (\hat{T}_{k-1} ) - \hat{q}_{k-1} \right\} \Delta p_{k-1}$$

  $$= - \left[ 1 + \frac{L}{c_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k... ... \frac{L}{c_p} \left\{ q^{*} (\hat{T}_{k}) - \hat{q}_{k} \right\} \Delta p_{k},$$

  
  
  ここで
  

  $$\gamma_{k} \equiv \frac{L}{c_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k}$$ (40)

  
  
  とおくと,
  

  $$\left\{ 1 + \gamma_{k-1} \right\} \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}$$

  $$= - \left( 1 + \gamma_{k} \right) \Delta T_{k} \Delta p_{k} + \fr... ...{k-1} + \left\{ \hat{q}_{k} - q^{*} (\hat{T}_{k}) \right\} \Delta p_{k} \right]$$ (41)

  
  
  となる. ここで,
  

  $$\Delta \hat{Q} \equiv \left\{ \hat{q}_{k-1} - q^{*} (\hat{T}_{k-1... ...Delta p_{k-1} + \left\{ \hat{q}_{k} - q^{*} (\hat{T}_{k}) \right\} \Delta p_{k}$$ (42)

  
  
  とおき, $\Delta T_{k-1}$ について解けば,
  

  $$\left\{ 1 + \gamma_{k-1} \right\} \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1} =... ... + \gamma_{k} \right) \Delta T_{k} \Delta p_{k} + \frac{L}{c_p} \Delta \hat{Q},$$

  $$\Delta T_{k-1} = - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \fr... ...rac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{c_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}$$ (43)

  
  
  となる.

• $T_{k}$

  断熱条件
  

  $$\DP{S}{z} = 0$$ (44)

  
  
  の式より (最初の $q (T_{k-1}, p_{k-1})$ って $q^* (T_{k-1}, p_{k-1})$ とするのが正しい???),
  

  $$T_{k-1} - T_{k} + \frac{L}{c_p} \left\{ q (T_{k-1}, p_{k-1}) - q^... ...\frac{R}{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} = 0,$$

  $$\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \left( \hat{T}_{k} + \Delta T_{k... ...{*} (\hat{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right\}$$

  $$\qquad - \frac{R}{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k}}{2} = 0,$$

  $$\hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k} + \frac{L}{c_p} \left\{ q^{*} (\hat{T... ...{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k} }{2}$$

  $$\qquad + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k} + \frac{L}{c_p} \left. \DP... ...\frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}}{2} = 0.$$ (45)

  
  
  ここで,
  

  $$St \equiv \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k} + \frac{L}{c_p} \left\{ q^{... ...{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}} \frac{\hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k} }{2}$$ (46)

  
  
  とおくと,
  

  $$\Delta T_{k-1} - \Delta T_{k} + \gamma_{k-1} \Delta T_{k-1} - \ga... ...Delta T_{k-1} - \frac{R}{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \Delta T_{k}$$

  $$\qquad = - St,$$

  $$\left( - 1 - \gamma_{k} - \frac{R}{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2... ...frac{R}{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k-1} = - St$$ (47)

  
  
  げー, ノートが間違っているような気がする. 分母に入っている $p_{k-1/2}$ が $p_{k-1}$ になってしまっている....

  ここで $\Delta T_{k-1}$ の表式を代入する.
  

  $$\left( - 1 - \gamma_{k} - \frac{R}{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k}$$

  $$+ \left( 1 + \gamma_{k-1} - \frac{R}{c_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}... ...1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{c_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}} \right)$$

  $$= - St$$ (48)

  
  
  $\kappa = \frac{R}{c_p}$ を使うと (もっと前から使おうよ...)
  

  $$\left( - 1 - \gamma_{k} - \kappa \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) \Delta T_{k}$$

  $$+ \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kappa \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k... ...1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{c_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}} \right)$$

  $$= - St$$ (49)

  
  
  この式を $\Delta T_{k}$ について解く.
  

  $$\left[ \left( - 1 - \gamma_{k} \right) - \kappa \frac{\Delta p_{k... ... \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} \right) \right] \Delta T_{k}$$

  $$= - St - \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kappa \frac{\Delta p_{k-1/2}}... ...rac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{L}{c_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}$$ (50)

  
  
  
  

  $$\Delta T_{k}$$

  $$= \frac{ - St - \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kappa \frac{\Delta p_{... ...+ \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} \right) }$$

  $$= \frac{ St + \left( 1 + \gamma_{k-1} - \kappa \frac{\Delta p_{k-... ...frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} }$$

  $$= \frac{ (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} St + \left( 1 + \gamma... ...pa \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}} \right) (1 + \gamma_{k}) \Delta p_{k} }$$

  $$= \frac{ (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} St + \left( 1 + \gamma... ...\{ (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} - (1 + \gamma_{k}) \Delta p_{k} \right\} }$$ (51)

  
  

0.8.4 水蒸気が少ないという近似をしない場合

$l$ が一定の場合,

$$\DD{s}{t} = - R_d \DD{}{t} (\ln p_d) + \left(1 + \frac{q}{1-q} \right) c_p \DD{}{t} (\ln T) + l \DD{}{t} \frac{r}{T}$$

$$= - R_d \DD{}{t} \left\{ \ln (p (1-q)) \right\} + \frac{1}{1-q} c_p \DD{}{t} (\ln T) + l \DD{}{t} \left( \frac{1}{T} \frac{q}{1-q} \right)$$

全部 $q$ を使って書き換えた. 更に変形すると

$$\DD{s}{t} = - R_d \frac{1}{p (1-q)} \DD{}{t} \left\{ p (1-q) \right\} + \frac... ...T}{t} \frac{q}{1-q} + \frac{1}{T} \DD{}{t} \left( \frac{q}{1-q} \right) \right]$$ (52)

これより, $\DD{S}{z} =0$ となる条件は

$$- \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\} + \frac{1... ...\frac{q}{1-q} \DD{T}{z} + \frac{l}{T} \DD{}{z} \left( \frac{q}{1-q} \right) = 0$$ (53)

$dS=0$ の式をどのような形にするのが best なのかは よくわからない. とりあえず, 扱いが容易かなと思った分母を全部払った 形にしてみる.

$$- \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\} + \frac{1... ...\DD{T}{z} + \frac{l}{T} \frac{\DD{q}{z} (1-q) - q \DD{}{z}(1-q)} {(1-q)^2} = 0,$$

$$- \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\} + \frac{1... ...{l}{T} \frac{1}{(1-q)} \DD{q}{z} + \frac{l}{T} \frac{q}{(1-q)^2} \DD{q}{z} = 0.$$ (54)

この式の両辺に $T^2(1-q)^2$ をかける.

$$- \frac{R_d}{p} T^2 (1-q) \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\} + c_p... ...q) \DD{T}{z} - l q (1-q) \DD{T}{z} + l T (1-q) \DD{q}{z} + l T q \DD{q}{z} = 0,$$

$$- \frac{R_d}{p} T^2 (1-q) \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\} + c_p T (1-q) \DD{T}{z} - l q (1-q) \DD{T}{z} + l T \DD{q}{z} = 0,$$ (55)

更に $dz$ をかければ

$$- \frac{R_d}{p} T^2 (1-q) d \left\{ p (1-q) \right\} + c_p T (1-q) dT - l q (1-q) dT + l T dq = 0,$$ (56)

近似をせずに, 分母を払った形の式をそのまま離散化する.

$$- \frac{R_d}{p_{k-1/2}} T_{k-1/2}^2 (1-q_{k-1/2}) \left[ p_{k-1} ... ...k-1}) - p_{k} (1-q_{k}) \right] + c_p (1-q_{k-1/2}) T_{k-1/2} (T_{k-1} - T_{k})$$

$$\qquad - l q_{k-1/2} (1-q_{k-1/2}) (T_{k-1} - T_{k}) + l T_{k-1/2} (q_{k-1} - q_{k}) = 0,$$ (57)

ここで,

$$T_{k-1/2} = \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2},$$ (58)

$$q_{k-1/2} = \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2}$$ (59)

とすると(これ, 本当は良くないのだろう. $T_{k-1/2}$ については Arakawa and Suarez (1983) の正しい補間式を使うべきなような気がする. しかし, agcm5 時代に, サブルーチンの引数を変えるのが嫌だったので こうしている. dcpam ではサブルーチン内で $T_{k-1/2}$ を作る のでも良いかもしれない),

$$- \frac{R_d}{p_{k-1/2}} \left( \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} \right)^... ..._{k-1} + q_{k}}{2} \right) \left[ p_{k-1} (1-q_{k-1}) - p_{k} (1-q_{k}) \right]$$

$$\qquad + c_p \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (T_{k-1} - T_{k})$$

$$\qquad - l \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) (T_{k-1} - T_{k})$$

$$\qquad + l \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (q_{k-1} - q_{k}) = 0,$$

$$- \frac{R_d}{c_p} \left( \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} \right)^2 \lef... ...rac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}} (1-q_{k-1}) - \frac{p_{k}}{p_{k-1/2}} (1-q_{k}) \right]$$

$$\qquad + \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (T_{k-1} - T_{k})$$

$$\qquad - \frac{L}{c_p} \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) (T_{k-1} - T_{k})$$

$$\qquad + \frac{L}{c_p} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (q_{k-1} - q_{k}) = 0$$ (60)

潜熱が大文字になっちゃった... 最初から $L$ にしておくべき.

$\Delta T_{k-1}$ などを使って書き換える.

$$- \frac{R_d}{c_p} \frac{1}{4} \left( \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k} \right)^2$$

$$\qquad \times \left\{ 1 - \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}... ...t{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$$

$$\qquad \times \left[ \frac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}} \left( 1 - q^{*} (... ...at{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right) \right]$$

$$\quad + \left\{ 1 - \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \l... ...t{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$$

$$\qquad \times \frac{1}{2} \left( \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} +... ...lta T_{k} \right) (\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \hat{T}_{k} - \Delta T_{k})$$

$$\quad - \frac{L}{c_p} \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + ... ...^{*} (\hat{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right)$$

$$\qquad \times \left\{ 1 - \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}... ...t{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$$

$$\qquad \times (\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \hat{T}_{k} - \Delta T_{k})$$

$$\quad + \frac{L}{c_p} \frac{1}{2} \left( \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k} \right)$$

$$\qquad \times \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T}... ... (\hat{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k} \Delta T_{k} \right) = 0$$ (61)

ここで, 以下の変数達を導入する.

$$MM \equiv 1 - \frac{1}{2} q^{*} (\hat{T}_{k-1}) - \frac{1}{2} q^{*} (\hat{T}_{k}),$$ (62)

$$D_{k-1} \equiv \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k-1},$$ (63)

$$D_{k-1} \equiv \left. \DP{q^{*}}{T} \right\vert _{k},$$ (64)

$$TP \equiv \hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k},$$ (65)

$$TM \equiv \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k},$$ (66)

$$M_{k-1} \equiv 1 - q^{*} (\hat{T}_{k-1}),$$ (67)

$$M_{k} \equiv 1 - q^{*} (\hat{T}_{k}),$$ (68)

$$F \equiv \frac{R_d}{c_p},$$ (69)

$$E \equiv \frac{L}{c_p},$$ (70)

$$QP \equiv q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + q^{*} (\hat{T}_{k}),$$ (71)

$$QM \equiv q^{*} (\hat{T}_{k-1}) - q^{*} (\hat{T}_{k}),$$ (72)

$$P_{k-1} \equiv \frac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}},$$ (73)

$$P_{k} \equiv \frac{p_{k}}{p_{k-1/2}}$$ (74)

これらの記号を用いて, 先程の式を書き換えると以下のように なる.

$$- \frac{F}{4} \left( TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} \right)^2... ... - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right\}$$

$$\qquad \times \left[ P_{k-1} \left( M_{k-1} - D_{k-1} \Delta T_{k-1} \right) - P_{k} \left( M_{k} - D_{k} \Delta T_{k} \right) \right]$$

$$\quad + \frac{1}{2} \left\{ MM - \frac{1}{2} \left( D_{k-1} \Delt... ...TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} \right) (TM + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k})$$

$$\quad - \frac{E}{2} \left( QP + D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \D... ...\frac{1}{2} \left( D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$$

$$\qquad \times (TM + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k})$$

$$\quad + \frac{E}{2} \left( TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} \right) \left( QM + D_{k-1} \Delta T_{k-1} - D_{k} \Delta T_{k} \right) = 0$$ (75)

この式をまともに解くことは大変なので, やむをえず近似する. $\Delta$ が 2 つ以上かかった項を無視することにする. おそらく「1 次近似」と言って良いのだろう, とは 思っているが, この近似の妥当性に関して現段階ではまったく 検討していない.

式を展開しつつ「2 次以上の項」を順次無視していくと, 以下のようになる.

$$- \frac{F}{4} \left\{ TP^2 + 2 TP \cdot (\Delta T_{k-1} + \Delta ... ...M - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right)$$

$$\qquad \times \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - P_{k} M_{k} + P_{k} D_{k} \Delta T_{k} \right)$$

$$\quad + \frac{1}{2} \left( MM - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1... ...Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP \right\}$$

$$\quad - \frac{E}{2} \left( QP + D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} \right)$$

$$\qquad \times \left\{ MM \cdot TM + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{... ...1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}\right)TM \right\}$$

$$\quad + \frac{E}{2} \left\{ TP \cdot QM + \left( D_{k-1} \Delta T... ...D_{k} \Delta T_{k} \right) TP + (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) QM \right\} = 0$$ (76)

$$- \frac{F}{4} \left\{ TP^2 \cdot MM - \frac{1}{2} TP^2 \left( D_{... ...} \Delta T_{k} \right) + 2 TP \cdot MM (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) \right\}$$

$$\quad \times \left\{ \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) - P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} + P_{k} D_{k} \Delta T_{k} \right\}$$

$$+ \frac{1}{2} \left\{ MM \cdot TP \cdot TM + \left\{ (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP \right\} MM \right.$$

$$\quad \left. - TP \cdot TM \left( \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} + \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$$

$$- \frac{E}{2} \left\{ QP \cdot MM \cdot TM + MM \cdot QP ( \Delta... ...c{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right) \right.$$

$$\quad \left. + MM \cdot TM (D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} ) \right\}$$

$$+ \frac{E}{2} \left\{ TP \cdot QM + ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1} + ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k} \right\} = 0$$ (77)

更に第 1 項を展開する.

$$- \frac{F}{4} \left[ TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k}... ...\{ - P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} + P_{k} D_{k} \Delta T_{k} \right\} \right.$$

$$\qquad \left. + \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) \lef... ... T_{k} \right) + 2 TP \cdot MM (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) \right\} \right]$$

$$+ \frac{1}{2} \left\{ MM \cdot TP \cdot TM + \left\{ (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP \right\} MM \right.$$

$$\qquad \left. - TP \cdot TM \left( \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} + \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right) \right\}$$

$$- \frac{E}{2} \left\{ QP \cdot MM \cdot TM + MM \cdot QP ( \Delta... ...c{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right) \right.$$

$$\qquad \left. + MM \cdot TM (D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} ) \right\}$$

$$+ \frac{E}{2} \left\{ TP \cdot QM + ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1} + ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k} \right\} = 0$$ (78)

この式を $\Delta T_{k-1}$ の項と $\Delta T_{k}$ の項に まとめていく. まずばらす.

$$- \frac{F}{4} \left[ TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k}... ...P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} + TP^2 \cdot MM P_{k} D_{k} \Delta T_{k} \right.$$

$$\qquad \left. - \frac{1}{2} \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} ... ...2} \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) TP^2 D_{k} \Delta T_{k} \right.$$

$$\qquad \left. + 2 \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) TP... ...2 \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) TP \cdot MM \Delta T_{k} \right]$$

$$+ \frac{1}{2} \left\{ MM \cdot TP \cdot TM + TM \cdot MM \Delta T... ...MM \Delta T_{k} + TP \cdot MM \Delta T_{k-1} - TP \cdot MM \Delta T_{k} \right.$$

$$\qquad \left. - TP \cdot TM \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - TP \cdot TM \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right\}$$

$$- \frac{E}{2} \left\{ QP \cdot MM \cdot TM + MM \cdot QP \Delta T... ...}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - TM \cdot QP\frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right.$$

$$\qquad \left. + MM \cdot TM D_{k-1} \Delta T_{k-1} + MM \cdot TM D_{k} \Delta T_{k} \right\}$$

$$+ \frac{E}{2} \left\{ TP \cdot QM + ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1} + ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k} \right\} = 0$$ (79)

ついで, まとめる.

$$- \frac{F}{4} TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)$$

$$- \frac{F}{4} \left\{ - TP^2 \cdot MM \cdot P_{k-1} \cdot D_{k-1}... ... \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k-1} + 2 TP \cdot MM \right) \right\} \Delta T_{k-1}$$

$$- \frac{F}{4} \left\{ TP^2 \cdot MM \cdot P_{k} \cdot D_{k} + \le... ...t( - \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k} + 2 TP \cdot MM \right) \right\} \Delta T_{k}$$

$$+ \frac{1}{2} MM \cdot TP \cdot TM$$

$$+ \frac{1}{2} \left\{ TM \cdot MM + TP \cdot MM - \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k-1} \right\} \Delta T_{k-1}$$

$$+ \frac{1}{2} \left\{ TM \cdot MM - TP \cdot MM - \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k} \right\} \Delta T_{k}$$

$$- \frac{E}{2} QP \cdot MM \cdot TM$$

$$- \frac{E}{2} \left( MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k-1} + MM \cdot TM \cdot D_{k-1} \right) \Delta T_{k-1}$$

$$- \frac{E}{2} \left( - MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k} + MM \cdot TM \cdot D_{k} \right) \Delta T_{k}$$

$$+ \frac{E}{2} TP \cdot QM + \frac{E}{2} ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1} + \frac{E}{2} ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k} = 0$$ (80)

ここで, 以下のように変数をまとめる (前の $St$ とはちゃんと対応 しているんだろうね???).

$$St \equiv \frac{F}{4} TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) - \frac{1}{2} MM \cdot TP \cdot TM$$

$$+ \frac{E}{2} QP \cdot MM \cdot TM - \frac{E}{2} TP \cdot QM$$ (81)

$$B \equiv - \frac{F}{4} \left\{ - TP^2 \cdot MM \cdot P_{k-1} \cdot D_{k-1}... ...\right) \left(- \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k-1} + 2 TP \cdot MM \right) \right\}$$

$$+ \frac{1}{2} \left\{ TM \cdot MM + TP \cdot MM - \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k-1} \right\}$$

$$- \frac{E}{2} \left( MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot ... ...-1} + MM \cdot TM \cdot D_{k-1} \right) + \frac{E}{2} ( TP \cdot D_{k-1} + QM )$$ (82)

$$C \equiv - \frac{F}{4} \left\{ TP^2 \cdot MM \cdot P_{k} \cdot D_{k} + \le... ... \right) \left( - \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k} + 2 TP \cdot MM \right) \right\}$$

$$+ \frac{1}{2} \left\{ TM \cdot MM - TP \cdot MM - \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k} \right\}$$

$$- \frac{E}{2} \left( - MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k} + MM \cdot TM \cdot D_{k} \right) + \frac{E}{2} ( - TP \cdot D_{k} + QM )$$ (83)

これより,

$$B \Delta T_{k-1} + C \Delta T_{k} = St$$ (84)

となる. ここで, $\sum h =0$ より得られる

$$\Delta T_{k-1} = - \frac{1 + \gamma_{k}}{1+\gamma_{k-1}} \frac{\Delta p_{k}}{\Delt... ... \frac{1}{1+\gamma_{k-1}} \frac{L}{c_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}$$ (85)

$$\equiv \alpha \Delta T_{k} + \beta$$ (86)

を代入すると

$$B \left( \alpha \Delta T_{k} + \beta \right) + C T_{k} = St$$ (87)

これを, $\Delta T_{k}$ について解けば

$$T_{k} = \frac{St - \beta B }{C + \alpha B}$$ (88)

... 熱・運動量輸送効果については⁴

... 浅い積雲⁵

dennou モデルには Tiedtke による, 係数を増やす形のもの がある.

... 荒川シューバートスキーム⁶

dcpamには現在存在しない.