C. 差分式の導出と誤差

appendix-c

ここでは交互格子を用いた場合の空間微分の差分式の導出と, その誤差につい てまとめる. 具体例としてフラックス格子点の変数 $u$ の, $(i,j)$ 格子点 上における $x$ 方向一階微分

$$\left[\DP{u}{x}\right]_{i,k}$$

の差分式と, その誤差を考える.

C.1 2 次精度中心差分

フラックス格子点 $(i(u),j)$ 上の $u$ $(u_{i(u),j})$ を $x$ 方向に $-\Delta x/2$ だけずれたスカラー格子点 $(i,j)$ 上の $u$ $(u_{i,j})$ のテー ラー展開として表すと, 以下のようになる.

$$u _{i(u),j} = u_{i,j} + \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k}\frac{\Delta x}{2} + \frac... ...frac{1}{3!}\left[\DP[3]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)^{3}$$

$$+ \frac{1}{4!}\left[\DP[4]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta... ...\left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)^{5} + \cdots .$$ (C.1)

同様に, フラックス格子点 $(i-1(u),j)$ 上の $u$ $(u_{i-1(u),j})$ を $u_{i,j}$ のテーラー展開として表すと, 以下のようになる.

$$u_{i-1(u),j} = u_{i,j} - \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k}\frac{\Delta x}{2} + \frac... ...frac{1}{3!}\left[\DP[3]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)^{3}$$

$$+ \frac{1}{4!}\left[\DP[4]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta... ...\left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)^{5} + \cdots .$$ (C.2)

() $-$ () より,

$$u _{i(u),j} - u_{i-1(u),j} = \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k}\Delta x + \frac{1}{3}\left[\DP[3]{u... ...frac{1}{60}\left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)^{5}$$

$$+ O[(\Delta x)^{7}]$$ (C.3)

これを変形すると $(i,j)$ 格子点上における $u$ の $x$ 方向一階微分の式 が得られる.

$$\left[\DP{\pi}{x} \right]_{i(u),k} = \frac{\pi _{i+1,j} - \pi _{i,j}}{\Delta x} - \frac{1}{24}\left[\DP[3]{\pi}{x} \right]_{i(u),k} \left(\Delta x\right)^{2}$$

$$- \frac{1}{1920}\left[\DP[5]{\pi}{x} \right]_{i(u),k} \left(\Delta x\right)^{4} + O[(\Delta x)^{6}]$$ (C.4)

上式の $\left(\Delta x\right)^{2}$ 以上の高次項を無視することで, 交互格子を用いた場合の 2 次精度中心差分の式

$$\left[\DP{u}{x} \right]_{i(u),k} = \frac{u_{i+1,j} - u_{i,j}}{\Delta x}$$ (C.5)

が得られる. このときの誤差の大きさは

$$\left\vert\frac{1}{24}\left[\DP[3]{u}{x} \right]_{i(u),k} \left(\Delta x\right)^{2}\right\vert$$ (C.6)

となる.

C.2 4 次精度中心差分

2 次精度中心差分の式を求める際に用いた(), ()に加え, $(i,j)$ から $x$ 方向に $\pm \Delta 3x/2$ だけずれたフラックス格子点での $u$ $(u _{i+1(u),j}, u _{i-2(u),j})$ の値を$u_{i,j}$ のテーラー展開として求める.

$$u _{i+1(u),j} = u_{i,j} + \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k}\frac{3\Delta x}{2} + \fra... ...rac{1}{3!}\left[\DP[3]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{3\Delta x}{2}\right)^{3}$$

$$+ \frac{1}{4!}\left[\DP[4]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{3\Delt... ...left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{3\Delta x}{2}\right)^{5} + \cdots .$$ (C.7)

$$u _{i-2(u),j} = u_{i,j} - \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k}\frac{3\Delta x}{2} + \fra... ...rac{1}{3!}\left[\DP[3]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{3\Delta x}{2}\right)^{3}$$

$$+ \frac{1}{4!}\left[\DP[4]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{3\Delt... ...left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{3\Delta x}{2}\right)^{5} + \cdots .$$ (C.8)

() $-$ () より,

$$u _{i+1(u),j} - u_{i-2(u),j} = \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k}3\Delta x + \frac{1}{3}\left[\DP[3]{... ...rac{1}{60}\left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{3\Delta x}{2}\right)^{5}$$

$$+ O[(\Delta x)^{7}]$$ (C.9)

()$\times 27 -$()を行い $(\Delta x)^{3}$ の項を消去すると,

$$27(u _{i(u),j} - u_{i-1(u),j}) - (u _{i+1(u),j} - u_{i-2(u),j}) = \left[\DP{u}{x} \right]_{i,k}24\Delta x - \frac{216}{60}\left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\frac{\Delta x}{2}\right)^{5}$$

$$+ O[(\Delta x)^{7}]$$ (C.10)

これを変形して $(i,j)$ 格子点上における $u$ の $x$ 方向一階 微分の式が得られる.

$$\left[\DP{u}{x}\right]_{i,k} = \frac{9}{8}\left(\frac{u_{i,j} - u _{i-1,j}}{\Delta x}\right) - \frac{1}{24}\left(\frac{u_{i+1,j} - u _{i-2,j}}{\Delta x}\right)$$

$$+ \frac{3}{640}\left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i,k} \left(\Delta x\right)^{4} + O[(\Delta x)^{6}]$$ (C.11)

上式の $\left(\Delta x\right)^{4}$ 以上の高次項を無視することで, 交互格子を用いた場合の 4 次精度中心差分式

$$\left[\DP{u}{x}\right]_{i,k} = \frac{9}{8}\left(\frac{u_{i... ...rac{1}{24}\left(\frac{u_{i+1,j} - u _{i-2,j}}{\Delta x}\right)$$ (C.12)

が得られる. このときの誤差の大きさは

$$\left\vert\frac{3}{640}\left[\DP[5]{u}{x} \right]_{i(u),k} \left(\Delta x\right)^{4}\right\vert$$ (C.13)

となる.